f(x)=m2(2+x√+2−x√)+44−x2√+m+1.Tổng các giá trị của m để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4 là

Question

Cho hàm số \(f\left(x\right)=m^{2} \left(\sqrt{2+x} +\sqrt{2-x} \right)+4\sqrt{4-x^{2} } +m+1.\) Tổng các giá trị của m để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4 là

\(A. \frac{5}{2}  B. -\frac{7}{2}  \)

\(C. -\frac{1}{2}  D. \frac{1}{2} \)
 

Answer 1

Chọn C 

Tập xác định: \(D=\left[-2;\, 2\right].\)

Đặt \(t=\sqrt{2+x} +\sqrt{2-x} ,\, 2\le t\le 2\sqrt{2} . Ta có t^{2} =4+2\sqrt{4-x^{2} } .\)

Xét hàm số \(g\left(t\right)=m^{2} t+2\left(t^{2} -4\right)+m+1=2t^{2} +m^{2} t+m-7.\)
\(\[g'\left(t\right)=4t+m^{2} >0,\, \forall t\in \left[2;\, 2\sqrt{2} \right]\Rightarrow {\mathop{\min }\limits_{\left[-2;\, 2\right]}} f\left(x\right)={\mathop{\min }\limits_{\left[2;\, 2\sqrt{2} \right]}} g\left(t\right)=g\left(2\right)=2m^{2} +m+1.\] \)
Theo giả thiết ta có \(2m^{2} +m+1=4\Leftrightarrow 2m^{2} +m-3=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {m_{1} =1} \\ {m_{2} =-\frac{3}{2} } \end{array}\right. \Rightarrow m_{1} +m_{2} =-\frac{1}{2} .\)