Đặt a là góc giữa AB và đáy. Khi thể tích khối tứ diện OO'AB đạt giá trị lớn nhất, hãy tính cota

Question

Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O' , bán kính đáy bằng chiều cao và bằng 2a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O'  lấy điểm B. Đặt\( \alpha \) là góc giữa AB và đáy. Khi thể tích khối tứ diện \({\rm OO}^{'} AB\) đạt giá trị lớn nhất, hãy tính \(\cot \alpha .\)

\(A. \cot \alpha =1. B. \cot \alpha =\frac{\sqrt{2} }{2} .\)

\(C. \cot \alpha =\frac{1}{2} . D. \cot \alpha =\sqrt{2} .\)
 

Answer 1

Chọn D

Ta có:
\(\[\begin{array}{l} {V_{{\rm A.}{\rm O}'{\rm O}B} =V_{A.OBB'} =V_{B.{\rm A}{\rm A}'O'} =\frac{1}{3} V_{OAB'.O'A'B} } \\ {=\frac{1}{3} S_{\triangle OAB'} .{\rm A}{\rm A}'=\frac{1}{3} .\frac{1}{2} .OA.OB'.\sin \widehat{AOB}.{\rm A}{\rm A}'\le \frac{1}{3} .\frac{1}{2} .OA.OB'.AA'=\frac{4a^{3} }{3} } \end{array}\] \)
 Vậy thể tích khối tứ diện \({\rm OO}^{'} AB\) đạt giá trị lớn nhất bằng\( \frac{4a^{3} }{3}  khi \Delta AOB^{'} \) vuông tại \(O\Leftrightarrow AB^{'} =2a\sqrt{2} =A^{'} B\Rightarrow \cot \alpha =\frac{A^{'} B}{A^{'} A} =\frac{2a\sqrt{2} }{2a} =\sqrt{2} .\)