​Cho S.ABCD có đáy là hcn với AB=a, Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SC tạo với (SAB) 30 độ. Thể tích S.ABCD bằng ​

Question

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB=a, \(BC=a\sqrt{3}. \)Cạnh bên SA 

vuông  góc với đáy và đường thẳng SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 30 độ. Thể tích khối

chóp S.ABCD bằng

\(A. \sqrt{3} a^{3} \)

\(B. \frac{2a^{3} }{3} \)

\(C. \frac{\sqrt{3} a^{3} }{3} \)

\(D. \frac{2\sqrt{6} a^{3} }{3} \)
 

Answer 1

Chọn D

Vì \(SA\bot (ABCD) \)nên \(SA\bot BC\), do \(BC\bot AB nên BC\bot (SAB)\).

Ta có SB là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (SAB), do đó góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng

(SAB) là góc \(\widehat{CSB}=30^{{}^\circ } . \)

Trong tam giác SBC, ta có \(SB=BC.\cot 30^{{}^\circ } =a\sqrt{3} .\sqrt{3} =3a\)

Trong tam giác SAB, ta có \(SA=\sqrt{SB^{2} -AB^{2} } =2a\sqrt{2} \)

Vậy \(V_{S.ABCD} =\frac{1}{3} SA.AB.BC=\frac{1}{3} 2a\sqrt{2} .a.a\sqrt{3} =\frac{2a^{3} \sqrt{6} }{3} \)