Gọi M là trung điểm SD; góc giữa (SBC) và (AMC) là φ thỏa mãn tanφ=25√5. Tính thể tích V của khối đa diện S.ABCM? ​

Question

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABCD). Gọi M là trung điểm SD; góc giữa (SBC) và (AMC) là \(\varphi \) thỏa mãn\( \tan \varphi =\frac{2\sqrt{5} }{5} \). Tính thể tích V của khối đa diện S.ABCM?

\(A. V=\frac{a^{3} }{2} . B. V=\frac{a^{3} }{3} .\)

\(C. V=\frac{5a^{3} }{9} . D. V=\frac{2a}{3} ^{3} . \)
 

Answer 1

Chọn A 

Dựng hình chữ nhật AOBE.

Khi đó OA// BE và \(OM// SB\Rightarrow \left(MAC\right)// \left(SBE\right).\)

Do đó góc \(\widehat{\left(\left(SBC\right),\left(MAC\right)\right)} góc \widehat{\left(\left(SBC\right),\left(SBE\right)\right)}.\)

Ta có góc giữa \(\left(SBC\right) và \left(SBA\right) bằng 90^{0} .\)

Gọi \alpha  là góc giữa hai mặt\( \left(SBE\right) và \left(SBA\right).\)

Ta có \(\varphi =180^{0} -\left(90^{0} +\alpha \right)=90^{0} -\alpha . \)

Do đó \(\tan \varphi =\cot \alpha =\frac{2\sqrt{5} }{5} \Rightarrow \tan \alpha =\frac{\sqrt{5} }{2} .\)

Do đó \(\cos ^{2} \alpha =\frac{1}{1+\tan ^{2} \alpha } =\frac{1}{1+\frac{5}{4} } =\frac{4}{9} \left(1\right).\)

Ta có \(EI\bot \left(SBA\right)\Rightarrow \Delta SEB\) có hình chiếu trên (SBA) là \(\Delta SIB.\)

Do đó \(\cos \alpha =\frac{S_{SIB} }{S_{SEB} } =\frac{BI.SA}{BE.SE} =\frac{\frac{a}{2} SA}{\frac{a\sqrt{2} }{2} .\sqrt{SA^{2} +OB^{2} } } =\frac{SA}{\sqrt{2} .\sqrt{SA^{2} +\frac{a^{2} }{2} } } \left(2\right).\)

Từ \(\left(1\right);\left(2\right) ta có \frac{SA^{2} }{2SA^{2} +a^{2} } =\frac{4}{9} \Rightarrow SA^{2} =4a^{2} \Rightarrow SA=2a.\)

Vậy \(V_{S.ABCM} =V_{S.ABCD} -V_{MACD} =V_{S.ABCD} -\frac{1}{4} V_{S.ABCD} =\frac{3}{4} V_{S.ABCD} =\frac{3}{4} .\frac{1}{3} a^{2} .2a=\frac{a^{3} }{2} .\)