Gọi M,N trên cạnh AB,AD sao cho(SMC) vg (SNC). Tính T=1AM2+1AN2 khi V S.AMCN đạt giá trị lớn nhất. ​

Question

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2, SA=2 và SA vuông góc với mặt đáy ABCD. Gọi M,N là hai điểm thay đổi lần lượt trên cạnh AB,AD sao cho mặt phẳng (SMC) vuông góc với mặt phẳng (SNC). Tính tổng \(T=\frac{1}{AM^{2} } +\frac{1}{AN^{2} }  \)khi thể tích khối chóp S.AMCN đạt giá trị lớn nhất.

\(A. T=\frac{13}{9} . B. T=2.\)

\(C. T=\frac{2+\sqrt{3} }{4} . D. T=\frac{5}{4} .\)
 

Answer 1

Chọn D 

Gắn hệ trục Axyz như hình vẽ.

Đặt \(x=AM,y=AN(0\le x;y\le 2);\)
\(\[\begin{array}{l} {S_{AMCN} =S_{ABCD} -S_{BMC} -S_{DNC} } \\ {S_{AMCN} =4-(2-x)-(2-y)} \\ {S_{AMCN} =x+y} \end{array}\] \)
\(\[\begin{array}{l} {S(0;0;2),M(x;0;0),C(2;2;0),N(0;y;0)} \\ {=>\overrightarrow{SM}=(x;0;-2),\overrightarrow{SC}=(2;2;-2),\overrightarrow{SN}=(0;y;-2)} \end{array}\] \)\( \[\begin{array}{l} {[\overrightarrow{SM},\overrightarrow{SC}]=(4;2x-4;2x)} \\ {[\overrightarrow{SN},\overrightarrow{SC}]=(4-2y;-4;-2y)} \\ {(SMC)\bot (SNC)<=>[\overrightarrow{SM},\overrightarrow{SC}].[\overrightarrow{SN},\overrightarrow{SC}]=0} \end{array}\]  \[\begin{array}{l} {\Leftrightarrow 4(4-2y)-4(2x-4)-4xy=0} \\ {\Leftrightarrow 4-2y-2x+4-xy=0} \\ {\Leftrightarrow xy+2x+2y-8=0} \end{array}\] \)
\(\[\Leftrightarrow y=\frac{8-2x}{x+2} .1\le x\le 2\] \)
\(\[V_{S.AMCN} =\frac{1}{3} .SA.S_{AMCN} =\frac{2}{3} (x+y)=\frac{2}{3} (x+\frac{8-2x}{x+2} )\] \)
Xét \(f(x)=x+\frac{8-2x}{x+2}  trên [1;2]\)
\(\[f'(x)=1-\frac{12}{(x+2)^{2} } =\frac{(x+2)^{2} -12}{(x+2)^{2} } \] \)
\(\[f'(x)=0\Leftrightarrow (x+2)^{2} =12\Leftrightarrow x=\pm 2\sqrt{3} -2\] \)
\(\[\begin{array}{l} {f(1)=f(2)=3} \\ {f(2\sqrt{3} -2)=4\sqrt{3} -4} \\ {=>\max V_{SABCD} =\frac{2}{3} .3=2} \end{array}\]  \)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {x=1} \\ {y=2} \end{array}\right.  hoặc \left\{\begin{array}{l} {x=2} \\ {y=1} \end{array}\right. \)\( \[T=\frac{1}{AM^{2} } +\frac{1}{AN^{2} } =\frac{1}{y^{2} } +\frac{1}{x^{2} } =\frac{5}{4} .\]  \)