​ Cho S.ABCD có ABCD là hcn có AB=a, AD=2a, SA vg với đáy, d từ A đến (SCD)bằng a/2.Tính thể tích khối chóp ​

Question

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a, AD=2a, SA vuông góc

với đáy, khoảng cách từ A đến \(\left(SCD\right) bằng \frac{a}{2}. \)Tính thể tích khối chóp theo a

\(A. \frac{4\sqrt{15} }{45} a^{3}     B. \frac{4\sqrt{15} }{15} a^{3} \)
\(C. \frac{2\sqrt{5} }{15} a^{3}  D. \frac{2\sqrt{5} }{45} a^{3}  \)

Answer 1

Chọn A

Kẻ \(AH\bot SD \left(1\right)\)

Ta có \(\left\{\begin{array}{l} {CD\bot AD} \\ {CD\bot SA} \end{array}\right. \Rightarrow CD\bot \left(SAD\right) \Rightarrow CD\bot AH$ \left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right), \left(2\right) ta có AH\bot \left(SCD\right)\Rightarrow d\left(A,\left(SCD\right)\right)=AH \Rightarrow AH=\frac{a}{2} \)

Trong \(\Delta \)SAD ta có \(\frac{1}{AH^{2} } =\frac{1}{SA^{2} } +\frac{1}{AD^{2} } \Rightarrow SA=\frac{AH.AD}{\sqrt{AD^{2} -AH^{2} } } =\frac{\frac{a}{2} \cdot 2a}{\sqrt{4a^{2} -\frac{a^{2} }{4} } } =\frac{2a\sqrt{15} }{15} \)

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là \(V=\frac{1}{3} SA.AB.AD=\frac{1}{3} \cdot \frac{2a\sqrt{15} }{15} .a.2a =\frac{4\sqrt{15} }{45} a^{3} \)