Tìm m để phương trình msinx+cos2x−m+1=0 có đúng một nghiệm thuộc ​(−π/3;0].

Question

Tìm m để phương trình \(m\sin x+\cos 2x-m+1=0\) có đúng một nghiệm thuộc\( \left(-\frac{\pi }{3} ;0\right]. \)

Answer 1

Ta có \(m\sin x+\cos 2x-m+1=0\Leftrightarrow 2\sin ^{2} x-m\sin \, x+m-2=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {\sin \, x=1} \\ {\sin \, x=\frac{m-2}{2} } \end{array}\right. \)

 Với\( \sin \, x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2} +k2\pi . \)Dễ thấy họ nghiệm này không có nghiệm nào thuộc\( \left(-\frac{\pi }{3} ;0\right]\)

Do đó \(\sin \, x=\frac{m-2}{2}\)  phải cho ra đúng một nghiệm thuộc \(\left(-\frac{\pi }{3} ;0\right]\)

Vì \(\forall x\in \left(-\frac{\pi }{3} ;0\right] nên -\frac{\sqrt{3} }{2} <\sin \, x\le 0\Leftrightarrow -\frac{\sqrt{3} }{2} <\frac{m-2}{2} \le 0\Leftrightarrow 2-\sqrt{3} <m\le 2.\)

Vậy  \(2-\sqrt{3} <m\le 2.\)