Giải phương trình: sin2x−2sin2x−5cos2x2sinx+2√=0

Question

Giải phương trình: 

\(\frac{\sin ^{2} x-2\sin 2x-5\cos ^{2} x}{2\sin x+\sqrt{2} } =0 \)

Answer 1

\(\frac{\sin ^{2} x-2\sin 2x-5\cos ^{2} x}{2\sin x+\sqrt{2} } =0     \)  

\(\frac{\sin ^{2} x-2\sin 2x-5\cos ^{2} x}{2\sin x+\sqrt{2} } =0\, \, \, \, \, \left(1\right) \)
Điều kiện xác định của phương trình \(\left(1\right)\) là:
\(2\sin x+\sqrt{2} \ne 0\Leftrightarrow \sin x\ne -\frac{\sqrt{2} }{2} \Leftrightarrow \sin x\ne \sin \left(-\frac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {x\ne -\frac{\pi }{4} +k2\pi } \\ {x\ne \frac{5\pi }{4} +k2\pi } \end{array}\right. , k\in {\rm Z}.  \)
Khi đó,
\(\left(1\right)\Leftrightarrow \sin ^{2} x-4\sin x\cos x-5\cos ^{2} x=0\, .\, \, \, \, \, \, \, \, \, \left(2\right) \)
+ Nếu \(\cos x=0 thì \sin ^{2} x=1.\) Khi đó,\( \left(2\right) \)trở thành 1=0 (vô lí).

+ Nếu \(\cos x\ne 0\Leftrightarrow x\ne \frac{\pi }{2} +k\pi , k\in {\rm Z}\), chia 2 vế của phương trình \(\left(2\right)\) cho \(\cos ^{2} x\) ta được:
\(\tan ^{2} x-4\tan x-5=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {\tan x=-1} \\ {\tan x=5} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {x=-\frac{\pi }{4} +k\pi } \\ {x=\arctan 5+k\pi } \end{array}\right. , k\in {\rm Z} \)
Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm của phương trình \(\left(1\right) là: x=\frac{3\pi }{4} +k2\pi  hoặc  x=\arctan 5+k\pi , k\in {\rm Z}. \)