​Tìm m để phương trình (2sinx−1)(2cos2x+2sinx+m)=3−4cos2x có đúng hai nghiệm thuộc (0;π).

Question

Tìm m để phương trình\( \left(2\sin \, x-1\right)\left(2\cos \, 2x+2\sin \, x+m\right)=3-4\cos ^{2} x \)có đúng hai nghiệm thuộc \(\left(0;\pi \right).\)

 

Answer 1

Ta biến đổi 
\(\begin{array}{l} {\left(2\sin \, x-1\right)\left(2\cos \, 2x+2\sin \, x+m\right)=3-4\cos ^{2} x} \\ {\Leftrightarrow \left(2\sin \, x-1\right)\left(2\cos \, 2x+2\sin \, x+m\right)=\left(2\sin \, x-1\right)\left(2\sin \, x+1\right)} \\ {\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {\sin \, x=\frac{1}{2} } \\ {\cos 2x=\frac{1-m}{2} } \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {\sin \, x=\frac{1}{2} } \\ {\sin ^{2} x=\frac{m+1}{4} \, \, \, \, \, \, (*)} \end{array}\right. } \end{array} \)
\(\sin \, x=\frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {x=\frac{\pi }{6} +k2\pi } \\ {x=\frac{5\pi }{6} +k2\pi } \end{array}\right. .\)

Ta có hai nghiệm thuộc\(\left(0;\pi \right)là \frac{\pi }{6} ;\, \frac{5\pi }{6} \)

Để phương trình ban đầu có đúng hai nghiệm thuộc \(\left(0;\pi \right)\)thì phương trình (*) vô nghiệm hoặc (*) có nghiệm \(\sin \, x=\frac{1}{2} \)

Tức là ta có: 

+TH1: (*) vô nghiệm \(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {\frac{m+1}{4} >1} \\ {\frac{m+1}{4} <0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {m<-1} \\ {m>3} \end{array}\right. .\)

+TH2:  (*) có nghiệm\( \sin \, x=\frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{m+1}{4} =\frac{1}{4} \Leftrightarrow m=0.\)

Thử lại, với m=0 thì \((*)\Leftrightarrow \sin \, ^{2} x=\frac{1}{4} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {\sin \, x=\frac{1}{2} } \\ {\sin \, x=-\frac{1}{2} } \end{array}\right. \)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {x=\frac{\pi }{6} +k2\pi } \\ {x=\frac{5\pi }{6} +k2\pi } \\ {x=-\frac{\pi }{6} +k2\pi } \\ {x=\frac{7\pi }{6} +k2\pi } \end{array}\right. .\)

Dễ thấy 4 họ lượng giác này chỉ cho được 2 nghiệm thuộc\( \left(0;\pi \right). \)Vậy nhận giá trị m=0.

Kết luận:    \(\left[\begin{array}{l} {m=0} \\ {m<-1} \\ {m>3} \end{array}\right. \)