Cho d:x=1+2t,y=−2+3t,z=3+t. Viết pt hình chiếu vuông góc của d lên (Q):x+y+z−7=0.

Question

Cho đường thẳng \(d:\left\{\begin{array}{l} {x=1+2t} \\ {y=-2+3t} \\ {z=3+t} \end{array}\right.\) . Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d lên mặt phẳng \(\left(Q\right):\, \, x+y+z-7=0.\)
 

Answer 1

Gọi \(\Delta\)  là hình chiếu vuông góc của d trên (Q) .

Phương trình  của d: \(\left\{\begin{array}{l} {x=1+2t} \\ {y=-2+3t} \\ {z=3+t} \end{array}\right. \) nên véc tơ chỉ phương của d là \(\vec{u}_{d} =\left(2;3;1\right).\)

Mặt phẳng (Q) có phương trình x+y+z-7=0 nên véc tơ pháp tuyến của\( \left(Q\right)là \vec{n}_{\left(Q\right)} =\left(1;1;1\right).\)

Xét phương trình: \(\left(1+2t\right)+\left(-2+3t\right)+\left(3+t\right)-7=0\Leftrightarrow t=\frac{5}{6} \Rightarrow d\cap (Q)=I\left(\frac{8}{3} \, ;\, \frac{1}{2} \, ;\, \frac{23}{6} \right)\in \Delta \)

Gọi (P) là mặt phẳng chứa dvà vuông góc với \((Q) \Rightarrow \)véc tơ pháp tuyến của (P) là\( \overrightarrow{n_{(P)} }={\rm [}\overrightarrow{n_{(Q)} },\overrightarrow{u_{d} }{\rm ]=}\left(-{\rm 2;1;1}\right)\)

\(\Delta =(P)\cap (Q)\Rightarrow\)  véc tơ chỉ phương của\( \Delta\)  là \(\left[\overrightarrow{n_{(P)} },\overrightarrow{n_{(Q)} }\right]{\rm =}\left({\rm 0}\, {\rm ;}\, {\rm 3}\, {\rm ;}\, -3\right),\)

Chọn \(\overrightarrow{u_{\Delta } }=(0;1;-1)\)

+ Phương trình tham số\( \Delta \) là :\( \left\{\begin{array}{l} {x=\frac{8}{3} } \\ {y=\frac{1}{2} +t} \\ {z=\frac{23}{6} -t} \end{array}\right.   \left(t\in {\rm R}\right)\)

+  Không có phương trình chính tắc vì véctơ chỉ phương có tích các tọa độ bằng không.