A(3;2;−2);B(1;0;1)vàC(2;−1;3). Viết pt mp qua A và vuông BC. Tìm hình chiếu vuông góc của A trên BC.

Question

Cho ba điểm \(A(3\, ;\, 2\, ;\, -2);\, B(1\, ;\, 0\, ;\, 1) và C(2\, ;\, -1\, ;\, 3)\). Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng BC.
 

Answer 1

Theo đầu bài ta có\( \overrightarrow{BC}(1\, ;\, -1\, ;\, 2) \)là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với BC
\(\Rightarrow (P):\, \left\{\begin{array}{l} {A\left(3\, ;\, 2\, ;\, -2\right)} \\ {vtpt\overrightarrow{BC}\left(1\, ;\, -1\, ;\, 2\right)} \end{array}\right. \Rightarrow \left(P\right):x\, -\, y\, +\, 2z\, +\, 3\, =\, 0. \)

 Ta có phương trình đường thẳng BC đi qua B và nhận véc tơ \(\overrightarrow{BC}(1\, ;\, -1\, ;\, 2)\) là một véc tơ chỉ phương
\(\Rightarrow BC:\left\{\begin{array}{l} {x\, =\, 1\, +\, t} \\ {y\, =\, -t} \\ {z\, =\, 1\, +\, 2t} \end{array}\right.  \)

 Gọi tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng BC là \(A'(1\, +\, t\, ;\, -t\, ;\, 1+\, 2t) \Rightarrow \overrightarrow{AA'}\left(t-2;\, -t-2;\, 2t+3\right) \)

 Do A' là tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng BC
\(\begin{array}{l} {\Rightarrow \overrightarrow{AA'}.\overrightarrow{BC}=\, \overrightarrow{0}} \\ {\Leftrightarrow \, t-2+t+2+4t+6=0} \\ {\Leftrightarrow t=-1} \\ {\Rightarrow A'(0\, ;\, 1\, ;\, -1)} \end{array}  \)