Viết ptmp (Q) tx với (S):(x−1)2+(y+1)2+z2=4. Biết mp (Q) vuông góc với (P):x−y+z−2=0và(R):2x−y−z−1=0.

Question

Viết phương trình mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt cầu \((S): \left(x-1\right)^{2} +\left(y+1\right)^{2} +z^{2} =4. \)
Biết mặt phẳng (Q) vuông góc với hai mặt phẳng sau: \(\left(P\right):x-y+z-2=0 và \left(R\right):2x-y-z-1=0.\)
 

Answer 1

 Ta có:\( \overrightarrow{n_{P} }=(1;-1;1); \overrightarrow{n_{R} }=(2;-1;-1) \)lần lượt là vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (R) 

Mặt phẳng (Q) vuông góc với hai mặt phẳng \(\left(P\right):x-y+z-2=0 và \left(R\right):2x-y-z-1=0.\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{n}_{{}_{Q} } =\left[\overrightarrow{n}_{{}_{P} } ;\overrightarrow{n}_{{}_{R} } \right]=\left(2 ;3 ;1\right). \)
Phương trình mặt phẳng (Q) có dạng: 2x+3y+z+D=0.

Gọi \(I\left(1 ;-1 ;0\right)\) là tâm của mặt cầu (S), bán kính của mặt cầu (S): R=2.

Mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt cầu \(\left(S\right): \left(x-1\right)^{2} +\left(y+1\right)^{2} +z^{2} =4. \Rightarrow d\left(I;\left(Q\right)\right)=R \)
\(\begin{array}{l} {\Rightarrow \frac{\left|2.1+3.\left(-1\right)+1.0+D\right|}{\sqrt{2^{2} +3^{2} +1^{2} } } =2} \\ {\Leftrightarrow \frac{\left|D-1\right|}{\sqrt{14} } =2} \\ {\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {D=2\sqrt{14} +1} \\ {D=-2\sqrt{14} +1} \end{array}\right. } \end{array} \)
\(\Rightarrow \) Phương trình mặt phẳng\(\left(Q\right): \left[\begin{array}{l} {2x+3y+z+2\sqrt{14} +1=0} \\ {2x+3y+z-2\sqrt{14} +1=0} \end{array}\right. .\)