ABCD có A(3;2;6),B(3;−1;0),C(0;−7;3),D(−2;1;−1). Tính góc 2 cạnh đối diện. Tính góc (AD;(ABC))

Question

Cho tứ diện ABCD với \(A\left(3;2;6\right),\, B\left(3;-1;0\right)\, ,\, C\left(0;-7;3\right),\, D\left(-2;1;-1\right).\) Tính góc giữa hai cạnh đối diện. Tính góc giữa đường thẳng AD và mặt phẳng (ABC) 
 

Answer 1

\(\overrightarrow{AB}=\left(0;\, -3;\, -6\right), \overrightarrow{CD}=\left(-2;\, 8;\, -4\right),\overrightarrow{CD}=\left(-2;\, 8;\, -4\right),\overrightarrow{AC}=\left(-3;\, -9;\, -3\right),\)

\(\overrightarrow{BD}=\left(-5;\, 2;\, -1\right), \overrightarrow{AD}=\left(-5;\, -1;\, -7\right), \overrightarrow{BC}=\left(-3;\, -6;\, 3\right). \)
Ta có  \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=0\Rightarrow \overrightarrow{AB}\bot \overrightarrow{CD}\Rightarrow \angle \left(AB;CD\right)=90^{0} ,\)
\(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=0\Rightarrow \overrightarrow{AC}\bot \overrightarrow{BD}\Rightarrow \angle \left(AC;BD\right)=90^{0} , \)
\(\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=0\Rightarrow \overrightarrow{AD}\bot \overrightarrow{BC}\Rightarrow \angle \left(AD;BC\right)=90^{0} . \)
Đường thẳng AD có một vecto chỉ phương \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AD}=\left(-5;\, -1;\, -7\right), \)mặt phẳng (ABC) có một vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=\left(-45;18;-9\right) hay \overrightarrow{n}=\left(5;-2;1\right) . \)

Gọi \(\alpha\)  là góc giữa đường thẳng AD và mặt phẳng (ABC) thì\( \sin \left(AD;(ABC)\right)=\frac{\left|\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{n}\right|} =\frac{30}{\sqrt{75} .\sqrt{30} } =\frac{\sqrt{10} }{5} \Rightarrow \angle \left(AD;(ABC)\right)=39^{0} 13'.\)