d:x+11=y−12=z−3−2 và (P):2x−2y+z−3=0. Xác định giao điểm A của d và (P). Tính góc d và (P)

Question

Cho đường thẳng\( d:\, \frac{x+1}{1} =\frac{y-1}{2} =\frac{z-3}{-2}\)  và mặt phẳng\( \left(P\right):\, 2x-2y+z-3=0.\) Xác định tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P) tính góc giữa d và (P)
 

Answer 1

Ta viết lại  \(\Delta :\, \, \left\{\begin{array}{l} {x=-1+t} \\ {y=1+2t} \\ {z=3-2t} \end{array}\right. ,\, t\in {\rm Z}.\)

Do đó\( A\left(-1+t;1+2t;3-2t\right).\)

\(Vì A\in \left(P\right) nên 2\left(-1+t\right)-2\left(1+2t\right)+3-2t-3=0\Rightarrow t=-1.\) Do đó \(A\left(-2;-1;5\right).\)

 Đường thẳng\( \Delta \) có một vecto chỉ phương \(\overrightarrow{u}=\left(1;\, 2;\, -2\right),\) mặt phẳng (P) có một vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=\left(2;-2;1\right). \)

Gọi \(\alpha\)  là góc giữa d và \(\left(P\right). \) thì \(\sin \left(\Delta ;(P)\right)=\frac{\left|\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{n}\right|} =\frac{4}{\sqrt{9} .\sqrt{9} } =\frac{4}{9} \Rightarrow \angle \left(\Delta ;(P)\right)=26^{0} 23'.\)