(P):x+2y−z+5=0 và d:x+1/2=y+1/1=z−3/1. Viết pt mặt cầu (S) có tâm J thuộc d, tiếp xúc (P) và có R= căn 6.

Question

Cho \(\left(P\right): x\, +2y\, -\, z\, +\, 5\, =\, 0\) và \(d:\, \, \frac{x+1}{2} =\frac{y+1}{1} =\frac{z-3}{1}  .\) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm J thuộc đường thẳng d, tiếp xúc với (P) và có bán kính \(R=\sqrt{6}  .\)
 

Answer 1

Mặt cầu (S) có tâm J thuộc đường thẳng \(d\Rightarrow \, J\left(-1+2t\, ;\, -1+t\, ;\, 3+t\right).\)

Mặt cầu (S) tiếp xúc với (P) và có bán kính \(R=\sqrt{6} \Leftrightarrow \, d\left(J\, ;\, (P)\right)=\, R  \Leftrightarrow \frac{\left|\left(-1+2t\right)+2\left(-1+t\right)-\left(3+t\right)+5\right|}{\sqrt{1^{2} +2^{2} +\left(-1\right)^{2} } } =\sqrt{6}  \Leftrightarrow \left|3t-1\right|=6 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {t=\frac{7}{3} } \\ {t=-\frac{5}{3} } \end{array}\right.  . \)
+) Với \(t=\frac{7}{3} \Rightarrow J\left(\frac{11}{3} \, ;\, \frac{4}{3} \, ;\, \frac{16}{3} \right)\Rightarrow\) Phương trình mặt cầu (S) là
\(\left(x-\frac{11}{3} \right)^{2} +\left(y-\frac{4}{3} \right)^{2} +\left(z-\frac{16}{3} \right)^{2} =6. \)
+) Với \(t=-\frac{5}{3} \Rightarrow J\left(-\frac{13}{3} \, ;\, -\frac{8}{3} \, ;\, \frac{4}{3} \right)\Rightarrow \) Phương trình mặt cầu (S) là
\(\left(x+\frac{13}{3} \right)^{2} +\left(y+\frac{8}{3} \right)^{2} +\left(z-\frac{4}{3} \right)^{2} =6. \)