Giải hệ phương trình sau

Question

\(\begin{cases} x^3 - 8x=y^3+2y\\x^2-3=3(y^2+1)\end{cases}\)

Answer 1

Đặt  \(x^{3}-8x=y^{3}+2y\) (1)

       \(x^{2}-3=3(y^{2}+1)\) (2)

Từ (2), ta có: \(x^{2}-8=3y^{2}-2\) (3)

Thay (3) vào (1), ta được:  \(x(3y^{2}-2)=y^{3}+2y\)

                                      \(\Rightarrow x=\frac{y^{3}+2y}{3y^{2}-2}\) (4)

Thay (4) vào (2), ta được: \((\frac{y^{3}+2y}{3y^{2}-2})^{2}-3=3(y^{2}+1)\)

                                     \(\Leftrightarrow \frac{y^{6}+4y^{4}+4y^{2}}{9y^{4}-12y^{2}+4}=3y^{2}+6\)

                                     \(\Leftrightarrow 13y^{6}+7y^{4}-32y^{2}+12=0\) (5)

Đặt \(A=y^{2}, A\geq 0\)

(5) \(\Leftrightarrow 13A^{3}+7A^{2}-32A+12=0\)

Giải phương trình bậc 3: \(\begin{align*} A &=1 \\ A &= -2\\ A &= \frac{6}{13} \end{align*}\), (loại A = -2, vì \(A\geq 0\))

\(\Rightarrow \begin{align*} y &=\pm 1 \\ y &= \pm \sqrt{\frac{6}{13}} \end{align*} \)

Thay y vào  (4), ta được các nghiệm (x,y) như sau:

\((3;1), (-3;-1),(-4\sqrt{\frac{6}{13}};\sqrt{\frac{6}{13}}),(4\sqrt{\frac{6}{13}};-\sqrt{\frac{6}{13}})\)