Question

 Cho hàm số f(x) = ax2 + bx + c (a, b, c ∈ ). Biết f(-1) ⋮ 3; f(0) ⋮ 3; f(1) ⋮ 3. Chứng minh rằng a, b, c đều chia hết cho 3.

Answer 1

Ta có: f(0)=a.02+b.0+cf(0)=a.02+b.0+c

⇒f(0)=a.0+0+c⇒f(0)=a.0+0+c

⇒f(0)=0+0+c⇒f(0)=0+0+c

⇒f(0)=c⇒f(0)=c

Vì f(0)⋮3f(0)⋮3 nên c⋮3c⋮3

Ta có: f(−1)=a.(−1)2+b.(−1)+cf(-1)=a.(-1)2+b.(-1)+c

⇒f(−1)=a.1+(−b)+c⇒f(-1)=a.1+(-b)+c

⇒f(−1)=a−b+c(1)⇒f(-1)=a-b+c(1)

Ta có: f(1)=a.12+b.1+cf(1)=a.12+b.1+c

⇒f(1)=a.1+b+c⇒f(1)=a.1+b+c

⇒f(1)=a+b+c(2)⇒f(1)=a+b+c(2)

Từ (1),(2)⇒f(−1)+f(1)=a−b+c+a+b+c(1),(2)⇒f(-1)+f(1)=a-b+c+a+b+c

⇒f(−1)+f(1)=2a+2c⇒f(-1)+f(1)=2a+2c

Vì f(−1)⋮3;f(1)⋮3f(-1)⋮3;f(1)⋮3

⇒f(−1)+f(1)⋮3⇒f(-1)+f(1)⋮3

⇒2a+2c⋮3⇒2a+2c⋮3

Mà: c⋮3c⋮3

⇒2c⋮3⇒2c⋮3

⇒2a⋮3⇒2a⋮3

⇒a⋮3⇒a⋮3

Ta có: f(−1)⋮3f(-1)⋮3

⇒a−b+c⋮3⇒a-b+c⋮3

Mà: a⋮3a⋮3 và c⋮3c⋮3

⇒b⋮3⇒b⋮3

Vậy a,b,ca,b,c đều chia hết cho 3