Question

Từ điểm A bên ngoài đường tròn (O), AO> 2R vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là 2 tiếp điểm). Vẽ đường kính BD. Gọi H là giao điểm của AO và BC.

a)     Chứng minh AO \(\perp \) BC tại H 

b)     Vẽ CM \(\perp \) BD (M \(\in \) BD).  Chứng minh DM . DB = 4OH2.

Answer 1

a. Chứng Minh \(AO \perp BC \) tại H

Ta có: 

AB = AC ( tính chất 2 tiếp tuyển cắt nhau tại 1 điểm) 

\(\Rightarrow \) \(\Delta ABC\) cân tại A

mà AO là tia phân giác của góc BAC ( tích chất 2 tiếp tuyến cắt nhau tại 1 điểm) 

\(\Rightarrow\)AO là đường cao của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow\) \(AO \perp BC\) tại H. 

 

b. Chứng Minh \(DM . DC = 4 OH^{2}\)

Xét \(\Delta DBC \) ta có: 

• DB là đường kính (O), 
• C \(\epsilon \) (O)

\(\Rightarrow\) \(\Delta DBC\) vuông tại C.

Xét \(\Delta DBC\) ta có: 

O là trung điểm BD ( BD là đường kính) 

OH // DC ( cùng vuông góc với BC) 

\(\Rightarrow \) H là trung điểm BC \(\Rightarrow \) OH là đường trung bình \(\Delta DBC\)

\(\Rightarrow OH = \frac{1}{2} DC\)

Xét  \(\Delta DMC \) và \(\Delta DCB\) ta có:

•  \(\widehat{D}\) là góc chung 
• \(\widehat{DMC} = \widehat{DCB} (= 90^{\circ} )\)

\(\Rightarrow\) \(\Delta DMC \sim \Delta DCB\)

\(\Rightarrow \frac{DM}{DC} = \frac{DC}{DB}\)

\(\Rightarrow\) \(DM . DB = DC^{2}\)

mà DC = 2OH 

\(\Rightarrow DM . DB = 4OH^{2}\)