Question

Cho 4 điểm A, B, C, D không có 3 điểm nào thẳng hàng. Chứng minh:
AB+BC+CD+DA>AC+BD

Answer 1

Giải:

Có 2 trường hợp:

Trường hợp 1:

Theo tính chất bất đẳng thức tam giác, trong các tam giác:

ABD:     AB+DA > BD

CBD:     BC+CD > BD

ABC:     AB+BC > AC

ADC:     CD+DA > AC

Do đó: AB+DA+BC+CD+AB+BC+CD+DA > BD+BD+AC+AC

           2.AB+2.BC+2.CD+2.DA > 2.BD+2.AC

           2(AB+BC+CD+DA) > 2(AC+BD)

⇒        AB+BC+CD+DA>AC+BD

Trường hợp 2:

Gọi E là giao điểm của CB và DA.

Theo tính chất bất đẳng thức tam giác, trong các tam giác:

AEC:     AE+CE > AC

BED:     BE+DE > BD

Do đó: AE+CE+BE+DE > AC+BD

(AE+DE)+(BE+CE) > AC+BD

Mà: AE+DE=DA

       BE+CE=BC

Nên: DA+BC > AC+BD

Vậy: AB+BC+CD+DA > AC+BD

Đây là câu trả lời của mình. Có gì sai hay thiếu sót, mong bạn thông cảm. :/