Cho A(−2;3),B(1;−4);đường thẳng d:3x-5y+8=0; đường tròn (C):(x+4)2+(y−1)2=4.​ Tìm điểm B', d' và (C')

Question

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm \(A\left(-2\, ;\, 3\right), B\left(1\, ;\, -4\right);\) đường thẳng d:3x-5y+8=0; đường tròn \(\left(C\right):\left(x+4\right)^{2} +\left(y-1\right)^{2} =4.\) Gọi B',\( \left(C'\right) \)lần lượt là ảnh của B, (C) qua phép đối xứng tâm O. Gọi d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow{AB}. \) Tìm tọa độ của điểm B', phương trình của d' và \(\left(C'\right).\)

Answer 1

Ta có B' là ảnh của B qua phép đối xứng tâm O nên O là trung điểm của BB'.

Gọi \(B'\left(x\, ;\, y\right).\)

Ta có \(\left\{\begin{array}{l} {\frac{x+1}{2} =0} \\ {\frac{y-4}{2} =0} \end{array}\right.   \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {x=-1} \\ {y=4} \end{array}\right.  nên B'\left(-1\, ;\, 4\right).\)

 Đường tròn \(\left(C\right) \)có tâm \(I\left(-\, 4\, ;\, 1\right)\) và bán kính R=2.

Gọi I' là ảnh của I qua phép đối xứng tâm O. Suy ra: \(I'\left(4\, ;\, -1\right).\)

Đường tròn \(\left(C'\right)\) là ảnh của\( \left(C\right)\) qua phép đối xứng tâm O nên \(\left(C'\right)\) có tâm \(I'\left(4\, ;\, -1\right)\) và bán kính R'=R=2.

Phương trình đường tròn \(\left(C'\right)\) là: \(\left(x-4\right)^{2} +\left(y+1\right)^{2} =4.\)

* Ta có \(\overrightarrow{AB}=\left(3\, ;\, -7\right).\)

Đường thẳng d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{AB}.\)

Khi đó: d' song song hoặc trùng d nên d' có phương trình dạng: 3x-5y+m=0.

Lấy \(M\left(-1\, ;\, 1\right)\) thuộc d. 

Gọi \(M'=T_{\overrightarrow{AB}} \left(M\right). \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {x_{M'} =-1+3=2} \\ {y_{M'} =1+\left(-7\right)=-6} \end{array}\right. {\rm \; }\Rightarrow M'\left(2\, ;\, -6\right).\)

Do \(M'\left(2\, ;\, -6\right) \)thuộc d' nên: \(3.2-5.\left(-6\right)+m=0\Leftrightarrow m=-36.\)

Vậy phương trình d' là 3x-5y-36=0.