Question

Cho tứ diện đều  ABCD có cạnh bằng a . Gọi I là trung điểm AD, J là điểm đối xứng với D qua C; K là điểm đối xứng với D qua B.

a) Xác định thiết diện của hình tứ diện cắt bởi mặt phẳng \(\left(IJK\right)\).

b) Tính diện tích của thiết diện được tính ở câu a.

Answer 1

a) Ta có: IK và AB cùng thuộc mặt phẳng \(\left(AB{\rm D}\right)\)

nên \(IK\cap AB=\left\{E\right\}.  \)

Tương tự IJ và AC cùng thuộc mặt phẳng \(\left(ADC\right)\)

nên \(IJ\cap AC=\left\{H\right\}. \)

Vậy thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi \(\left(IJK\right) \)

là \(\Delta \)IHE.                                   

b) Áp dụng định lí: Menelaus cho \(\Delta \)ADC ta có

\(\frac{JD}{JC} .\frac{CH}{HA} .\frac{AI}{ID} =1\)  suy ra \(\frac{CH}{HA} =\frac{1}{2} \,\) .

\(   \Rightarrow HA=\frac{2}{3} a{\rm \; }\left(1\right) .\) Trong tam giác AHI có

\(HI=\sqrt{AH^{2} +AI^{2} -2AH.AI.\cos 60^{0} } =\frac{a\sqrt{13} }{6} .\)

Tương tự trong \(\Delta \)ABD ta cũng có

 \(\frac{KD}{KB} .\frac{BE}{EA} .\frac{AI}{ID} =1 suy ra \frac{BE}{EA} =\frac{1}{2} \, .\)

\(\Rightarrow EA=\frac{2}{3} a{\rm \; }\left(2\right).\) Trong tam giác AEI có

\(EI=\sqrt{AE^{2} +AI^{2} -2AE.AI.\cos 60^{0} } =\frac{a\sqrt{13} }{6} .\)

Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) suy ra \(AE=AH\Rightarrow \Delta AEH\) đều

nên \(EH=\frac{2}{3} a.\)

 Gọi M là trung điểm cạnh EH do \(\Delta IHE\) cân đỉnh I

nên \(IM=\sqrt{IH^{2} -MH^{2} } =\frac{a}{2} .\)

Vậy diện tích \(\Delta IHE\) là \(S=\frac{1}{2} EH.IM=\frac{a^{2} }{6} .\)