Question

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC, CD, SO.

a) Xác định giao tuyến của \(\left(MNP\right)\) với các mặt phẳng \(\left(SAB\right),\left(SAD\right)\), \(\left(SBC\right)\) và \(\left(SCD\right)\).

b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng \(\left(MNP\right)\).

c) Tính tỉ số các đoạn thẳng chia bởi các đỉnh của thiết diện trên các cạnh của hình chóp S.ACBD.

Answer 1

a) Giao tuyến của \(\left(MNP\right)\) với các mặt phẳng

\(\left(SAB\right), \left(SAD\right), \left(SBC\right)\) và \(\left(SCD\right). \)

Gọi I là giao điểm giữa MN và OC. Khi đó ta có IO=IC.

Trong \(\Delta SOC\), ta có \(IP//SC\Rightarrow SC//\left(NMP\right).\)

Trong \(\left(SAC\right)\), gọi K là giao điểm giữa IP với SA 

Suy ra \(SK=\frac{1}{4} SA   \left(*\right) \)

Giao tuyến \(\left(MNP\right)\) và \(\left(SAB\right)\):

Ta có \(\left\{\begin{array}{l} {K\in IP\subset \left(MNP\right)} \\ {K\in SA\subset \left(SAB\right)} \end{array}\right.\)  , K là điểm chung thứ nhất.

Trong \(\left(ABCD\right)\), gọi E là giao điểm giữa MN và AB, khi đó:

\(\left\{\begin{array}{l} {E\in MN\subset \left(MNP\right)} \\ {E\in AB\subset \left(SAB\right)} \end{array}\right.\) , E là điểm chung thứ hai.

Suy ra \(KE=\left(MNP\right)\cap \left(SAB\right)\)

Trong \(\left(SAB\right)\), gọi T là giao điểm giữa SB và KE,

hay \(KT=\left(MNP\right)\cap \left(SAB\right).\)

Giao tuyến \(\left(MNP\right)\) và \(\left(SBC\right)\)

Ta có \(\left\{\begin{array}{l} {T\in KE\subset \left(MNP\right)} \\ {T\in SB\subset \left(SBC\right)} \end{array}\right. \) , T là điểm chung thứ nhất.

Và \(\left\{\begin{array}{l} {M\in MN\subset \left(MNP\right)} \\ {M\in BC\subset \left(SBC\right)} \end{array}\right.\) , M là điểm chung thứ hai.

Suy ra \(MT=\left(MNP\right)\cap \left(SBC\right)\)   

Mặt khác \(MT//SC\) vì \(\left(SC//\left(MNP\right)\right)\),

nên \(ST=\frac{1}{2} SB   \left(**\right) \)

Giao tuyến \(\left(MNP\right)\) và \(\left(SAD\right)\)

Ta có \(\left\{\begin{array}{l} {K\in IP\subset \left(MNP\right)} \\ {K\in SA\subset \left(SAD\right)} \end{array}\right.\)  ,K là điểm chung thứ nhất.

Trong \(\left(ABCD\right)\),gọi F là giao điểm giữa MN và AD, khi đó:

\(\left\{\begin{array}{l} {F\in MN\subset \left(MNP\right)} \\ {F\in AD\subset \left(SAD\right)} \end{array}\right.\) ,F là điểm chung thứ hai.

Suy ra \(KF=\left(MNP\right)\cap \left(SAD\right)\)

Trong \(\left(SAD\right)\), gọi H là giao điểm giữa SD và KF,

hay \(KH=\left(MNP\right)\cap \left(SAD\right) \)

Giao tuyến \(\left(MNP\right) \)và \(\left(SCD\right)\)

Ta có \(\left\{\begin{array}{l} {H\in KF\subset \left(MNP\right)} \\ {H\in SD\subset \left(SCD\right)} \end{array}\right.\)  ,H là điểm chung thứ nhất.

Và \(\left\{\begin{array}{l} {N\in MN\subset \left(MNP\right)} \\ {N\in CD\subset \left(SCD\right)} \end{array}\right.\) , N là điểm chung thứ hai.

Suy ra \(NH=\left(MNP\right)\cap \left(SCD\right)\)   

Mặt khác \(NH\, //SC\) vì \(\left(SC//\left(MNP\right)\right)\), nên \(SH=\frac{1}{2} SD   \left(***\right)\) 
b) Xác định thiết diện của hình chóp

với mặt phẳng \(\left(MNP\right).\)

Ta có \(\left(MNP\right)\cap \left(SAB\right)=KT\)
\(\left(MNP\right)\cap \left(SBC\right)=TM\)
\(\left(MNP\right)\cap \left(ABCD\right)=MN\)
\(\left(MNP\right)\cap \left(SCD\right)=NH \)
\(\left(MNP\right)\cap \left(SAD\right)=HK\)
Vậy thiết diện của hình chóp

với mặt phẳng \(\left(MNP\right)\) là ngũ giác KTMNH.
c) Tính tỉ số các đoạn thẳng chia bởi các đỉnh

của thiết diện trên các cạnh của hình chóp S.ACBD.

Từ \(\left(*\right),\, \, \left(**\right),\, \, \left(***\right)\) , ta có: \(SK=\frac{1}{4} SA;\)
\( ST=\frac{1}{2} SB; \)
\(SH=\frac{1}{2} SD;\)
\( MB=\frac{1}{2} AB;\)
\( NC=\frac{1}{2} CD.\)