Question

Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác lồi . Gọi M,N lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB và SAD . E là trung điểm của CB. 

a) Chứng minh rằng \(MN//BD.\)

b) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mp \(\left(MNE\right).\)

c) Gọi H và K lần lượt là các giao điểm của mp\( \left(MNE\right)\) với các cạnh SB và SD.Chứng minh rằng \(HK//BD.\)
 

Answer 1

a) Chứng minh rằng \(MN//BD.\)

                        

Gọi P là trung điểm của SA ta có :

\(\frac{PM}{PB} =\frac{PN}{PD} =\frac{1}{3} \Rightarrow MN//BD.   \)    

b) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD

khi cắt bởi mp \(\left(MNE\right).\)

- Từ E kẻ đường thẳng song song với BD

đường thẳng này cắt DC tại J và cắt đường AB tại F

suy ra J,F thuộc mp \(\left(MNE\right).\)

- Kẻ FM cắt SB tại H , cắt SA tại I

suy ra H,I thuộc mp \(\left(MNE\right).\)

- Kẻ IN cắt SD tại K suy ra K thuộc mp \(\left(MNE\right).\)

Vậy thiết diện là ngũ giác EHIKJ .

c) Chứng minh rằng \(HK//BD.\)

Ta có : 
\(  \left\{\begin{array}{c} {MN\subset \left(MNE\right)\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, } \\ {BD\subset \left(SBD\right)\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, } \\ {MN//BD,\left(MNE\right)\cap \left(SBD\right)=HK} \end{array}\right. \Rightarrow HK//BD\)