Question

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AB,CD. 

a)  Chứng minh rằng đường thẳng MN song song với các mặt phẳng (SBC) và (SAD). 

b)  Gọi P là trung điểm cạnh SA. Chứng minh rằng SB,SC đều song song với mặt phẳng (MNP). 

c)  Gọi E,F là trọng tâm các tam giác ABC và SBC. Chứng minh EF// (SAC).   
 

Answer 1

a)  i) Ta có: \(\left\{\begin{array}{l} {MN//BC} \\ {BC\subset (SBC)} \\ {MN\not\subset (SBC)} \end{array}\right. \Rightarrow MN//(SBC). \)
 

ii) Ta có: \(\left\{\begin{array}{l} {MN//AD} \\ {AD\subset (SAD)} \\ {MN\not\subset (SAD)} \end{array}\right. \Rightarrow MN//(SAD).\)

b)  i) Ta thấy MP là đường trung bình trong tam giác SAB,

suy ra MP//SB. 
 

Ta có:  \(\left\{\begin{array}{l} {SB//MP} \\ {MP\subset (MNP)} \\ {SB\not\subset (MNP)} \end{array}\right. \Rightarrow SB//(MNP).\)

ii) Gọi \(O=AC\cap MN\). Suy ra O là trung điểm AC. 

Xét tam giác SAC ta có PO là đường trung bình.

Suy ra PO//SC. 

Ta được~: \(\left\{\begin{array}{l} {SC//PO} \\ {PO\subset (MNP)} \\ {SC\not\subset (MNP)} \end{array}\right. \Rightarrow SC//(MNP). \)

c) Gọi I là trung điểm BC.

Vì E là trọng tâm tam giác ABC nên \(\frac{IE}{IA} =\frac{1}{3}\) .  (1) 

Vì F là trọng tâm tam giác SBC nên \(\frac{IF}{IS} =\frac{1}{3} .\)  (2)

Từ (1),(2) suy ra EF//SA. 

Ta có: \(\left\{\begin{array}{l} {EF//SA} \\ {SA\subset (SAC)} \\ {EF\not\subset (SAC)} \end{array}\right. \Rightarrow EF//(SAC).\)