Cho các số thực x,y thay đổi thoả mãn x2+2y2+2xy=1 và hàm số f(t)=t4−t2+2 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất ...

Question

Cho các số thực x,y thay đổi thoả mãn \(x^{2} +2y^{2} +2xy=1\) và hàm số \(f\left(t\right)=t^{4} -t^{2} +2\) . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(Q=f\left(\frac{x+y+1}{x+2y-2} \right).\) Tính M+m?


\(A. 8\sqrt{3} -2. \)
\(B. \frac{303}{2} .\)
\(C. \frac{303}{4} \).
\(D. 4\sqrt{3} +2.\)

Answer 1

 

Chọn C

 Theo giả thiết ta có \(x^{2} +2y^{2} +2xy=1 \Leftrightarrow \left(x+y\right)^{2} +y^{2} =1 \)

do đó ta có thể đặt \(\left\{\begin{array}{l} {x+y=\sin \alpha } \\ {y=\cos \alpha } \end{array}\right. \, , \)với  \(\alpha \in \left[0;2\pi \right].\)

Đặt \(u=\frac{x+y+1}{x+2y-2}  =\frac{\sin \alpha +1}{\sin \alpha +\cos \alpha -2} \Rightarrow -3\le u\le 0.\)

Khi đó giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của Q là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(f\left(t\right) \)trên đoạn \(\left[-3;0\right].\)

Ta có \(f'\left(t\right)=4t^{3} -2t  \) cho \(f'\left(t\right)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {t=-\frac{1}{\sqrt{2} } } \\ {t=0} \\ {t=\frac{1}{\sqrt{2} } \notin \left[-3;0\right]} \end{array}\right.​​​​​​​\)
\(f\left(0\right)=2, f\left(-3\right)=74, f\left(-\frac{1}{\sqrt{2} } \right)=\frac{7}{4} . \)
Suy ra \(M=74, m=\frac{7}{4} .\) Vậy \(M+m=\frac{303}{4} .\)