Gọi M,m lần lượt là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y=10x+1+∣∣x3−2x+k∣∣ trên đoạn [−1;3] ...

Question

 Gọi M,m lần lượt là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số \(y=10x+1+\left|x^{3} -2x+k\right|\) trên đoạn \(\left[-1;3\right]\) .Tìm tất cả các giá trị của k để M=m ?

A. \(k=\frac{2}{21} .\)
B. \(k=\frac{35}{2}\) .
C. \(\frac{5}{42}\) .
D. \(\frac{-35}{2}\) .

Answer 1

Chọn B 

 Ta có \(y\left(2\right)=21+\left|4+k\right|;  y\left(3\right)=31+\left|21+k\right|\)   \(\left(1\right).\)
\(\Rightarrow 2M\ge y\left(2\right)+y\left(3\right)\ge 52+\left|4+k-21-k\right|=69.  \Rightarrow M\ge \frac{69}{2}\) . 
Dấu ``='' xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{\begin{array}{l} {\left|4+k\right|=\frac{27}{2} } \\ {\left|21+k\right|=\frac{7}{2} } \end{array}\right. \Rightarrow k=\frac{-35}{2} .\)

Thử lại: \(k=\frac{-35}{2} \Rightarrow y=10x+1+\left|x^{3} -2x-\frac{35}{2} \right|=\left\{\begin{array}{l} {x^{3} +8x-\frac{33}{2} \, \, \, \, {\rm khi}\, \, x_{0} \le x<3\, \, } \\ {-x^{3} +12x+\frac{37}{2} \, \, {\rm khi}\, \, -1\le x<x_{0} \, } \end{array}\right. \)

                 \((với x_{0} \approx 2,852\) là nghiệm của phương trình \(x^{3} -2x-\frac{35}{2} =0\).

Ta có \(y'=0\Rightarrow x=2,\)
\(y\left(-1\right)=\frac{15}{2} ;y\left(x_{0} \right)=29,52,y\left(2\right)=\frac{13}{2} ;y\left(3\right)=\frac{67}{2}  \Rightarrow m=y\left(3\right)=\frac{67}{2} \, \, ;M=y\left(2\right)=\frac{13}{2} . \)
Dễ thấy\( k=\frac{-35}{2}\) thay vào \(\left(1\right) \) ta có \(y\left(2\right)=y\left(3\right)=\frac{69}{2} \Rightarrow M=m\) (đúng).

Vậy \(k=\frac{-35}{2}\)  thỏa mãn.