Question

 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. O là tâm của đáy . M,N lần lượt là trung điểm của SA,SC. Gọi \(\left(P\right)\) là mặt phẳng qua M,N,B.

a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng \(\left(P\right)\) với các mặt phẳng \(\left(SAB\right),\, \, \left(SBC\right).\)

b) Tìm giao điểm I của đường thẳng SO với mặt phẳng \(\left(P\right)\) và giao điểm K của đường thẳng SD với mặt phẳng \(\left(P\right).\)

c) Xác định giao tuyến của mặt phẳng \(\left(P\right)\) với các mặt phẳng \(\left(SAD\right),\, \, \left(SCD\right).\)

d) Tìm các giao điểm E,F cùa các đường thẳng AD,\, CD với mặt phẳng \(\left(P\right)\) và chứng minh 3 điểm \(E,\, B,\, F\) thẳng hàng.

Answer 1

a) Ta có mặt phẳng \(\left(P\right) \) là mặt phẳng \( \left(BMN\right).\)

Ta có: \(\left\{\begin{array}{l} {B\in \left(P\right)\cap \left(SAB\right)} \\ {M\in \left(P\right)\cap \left(SAB\right)} \end{array}\right. \Rightarrow BM=\left(P\right)\cap \left(SAB\right)\).

Ta có: \(\left\{\begin{array}{l} {B\in \left(P\right)\cap \left(SBC\right)} \\ {N\in \left(P\right)\cap \left(SBC\right)} \end{array}\right. \Rightarrow BN=\left(P\right)\cap \left(SBC\right).\)

b) Trong \(\left(SAC\right)\) có:\( I=SO\cap MN\)

Suy ra \(\left\{\begin{array}{l} {I\in SO} \\ {I\in MN\subset \left(P\right)} \end{array}\right. \Rightarrow I=SO\cap \left(P\right).\)

Trong \(\left(SBD\right)\) có: \(K=SD\cap BI\)

Suy ra \(\left\{\begin{array}{l} {K\in SD} \\ {K\in BI\subset \left(P\right)} \end{array}\right. \Rightarrow K=SD\cap \left(P\right).\)

c) Ta có: \(\left\{\begin{array}{l} {M\in \left(P\right)\cap \left(SAD\right)} \\ {K\in \left(P\right)\cap \left(SAD\right)} \end{array}\right. \Rightarrow MK=\left(P\right)\cap \left(SAD\right).\)

Ta có : \(\left\{\begin{array}{l} {N\in \left(P\right)\cap \left(SCD\right)} \\ {K\in \left(P\right)\cap \left(SCD\right)} \end{array}\right. \Rightarrow NK=\left(P\right)\cap \left(SCD\right).\)

d) Trong \(\left(SAD\right)\) có: \(E=AD\cap MK\)

Suy ra \(\left\{\begin{array}{l} {E\in AD} \\ {E\in MK\subset \left(P\right)} \end{array}\right. \Rightarrow E=AD\cap \left(P\right)\Rightarrow E\in \left(ABCD\right)\cap \left(P\right).\)

Trong \(\left(SCD\right) \)có : \(F=CD\cap NK\)

Suy ra \(\left\{\begin{array}{l} {F\in CD} \\ {F\in NK\subset \left(P\right)} \end{array}\right. \Rightarrow F=CD\cap \left(P\right)\Rightarrow F\in \left(ABCD\right)\cap \left(P\right).\)

Mặt khác \(B\in \left(ABCD\right)\cap \left(P\right)\)

Suy ra  \(E,\, F,\, B\) cùng thuộc giao tuyến của mặt phẳng \(\left(ABCD\right)\) và \(\left(P\right)\)

Vậy \(E,\, F,\, B\) thẳng hàng.