Question

Cho hình chóp  S.ABCD có đáy là hình chữ nhật. Gọi  M,N,E,F lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB,SBC,SCD và SDA. Chứng minh rằng:

 

a) Bốn điểm M,N,E,F đồng phẳng. 

b) Tứ giác MNEF là hình thoi.

c) Ba đường thẳng ME,NF và SO đồng quy ( trong đó O là giao điểm của AC và BD).
Gọi H,I,J,K lần lượt là trung điểm của AB,BC,CD,DA .
 

Answer 1

a) Trong tam giác SHI ta có:

\(\frac{SM}{SH} =\frac{SN}{SI} =\frac{2}{3}\)

nên suy ra \(MN\, {\rm //}\, HI\) và \(MN=\frac{2}{3} HI.\)  (1)
 

Trong tam giác ABC ta có HI là đường trung bình

nên \(HI\, {\rm //}\, AC.\)

Nên ta có: \(MN\, {\rm //}\, AC\) .

Chứng minh tương tự ta cũng có: \(EF\, {\rm //}\, AC.\)

Suy ra: \(EF\, {\rm //}\, MN \).

Vậy bốn điểm M, N, E, F  đồng phẳng.

b) Tương tự (1) ta có:

\(MN=\frac{2}{3} HI,NE=\frac{2}{3} IJ,EF=\frac{2}{3} JK,FM=\frac{2}{3} KH.\)  
Vì ABCD là hình chữ nhật nên:  \(HI=IJ=JK=KH.\)

Nên: \(MN=NE=EF=FM\). Vậy MNEF là hình thoi.

c) Gọi P là giao điểm của ME và NF.
Suy ra P là điểm chung của hai mặt phẳng (SHJ) và (SIK).   (2)

Dễ thấy \(O=HJ\cap IK\) nên ta có: \((SHJ)\cap (SIK)=SO.  \)      (3)

Từ (2) và (3) ta suy ra SO phải đi qua điểm P hay

ME, NF và SO đồng quy tại P.