Trên đồ thị y=1/x-1 có điểm M sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa độ tạo thành một tam giác...

Question

Trên đồ thị \(y=\frac{1}{x-1}\)  có điểmMsao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2. Tìm tọa độ M. 

\(A. \left(2;1\right). \)

\(B. \left(4;\frac{1}{3} \right). \)

\(C.\left(\frac{-3}{4} ;\frac{-4}{7} \right). \)

\(D.\left(\frac{3}{4} ;-4\right).\)

Answer 1

Chọn D

Ta có \(y'=\frac{-1}{\left(x-1\right)^{2} } \)

Tiếp tuyến tại \(M\left(x_{0} ;y_{0} \right)\) là \(d:\, y=\frac{-1}{\left(x_{0} -1\right)^{2} } \left(x-x_{0} \right)+\frac{1}{x_{0} -1} \; \left(x_{0} \ne 1\right).  \)

Ta có \(d\cap Ox=A\Rightarrow A\left(2x_{0} -1;0\right).\)

Ta có \(d\cap Oy=B\Rightarrow B\left(0;\frac{2x_{0} -1}{\left(x_{0} -1\right)^{2} } \right).\)

Diện tích tam giác là

\(S_{OAB} =\frac{OA.OB}{2} =\frac{\left|2x_{0} -1\right|.\left|\frac{2x_{0} -1}{\left(x_{0} -1\right)^{2} } \right|}{2} =\frac{\left(2x_{0} -1\right)^{2} }{2\left(x_{0} -1\right)^{2} } \, \, \)

Theo giả thiết

\(S_{OAB} =2\Leftrightarrow \frac{\left(2x_{0} -1\right)^{2} }{2\left(x_{0} -1\right)^{2} } =2 \Leftrightarrow \left(2x_{0} -1\right)^{2} =4\left(x_{0} -1\right)^{2}\)

\( \Leftrightarrow 4x_{0}^{2} -4x_{0} +1=4x_{0}^{2} -8x_{0} +4 \)
\(\Leftrightarrow 4x_{0} =3\Leftrightarrow x_{0} =\frac{3}{4} \, \, \left(n\right)\Rightarrow y_{0} =-4.\) 
Vậy \(M\left(\frac{3}{4} ;-4\right). \)