Xét các số phức z thỏa mãn |z+2-i|+|z-4-7i|=6√2. Gọi m,M là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của...

Question

Xét các số phức z thỏa mãn \(\left|z+2-i\right|+\left|z-4-7i\right|=6\sqrt{2}\) . Gọi m,M là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của \(\left|z-1+i\right|.\) Tính P=m+M. 

\(A. \sqrt{73} +\sqrt{13} .  \)

\(B. \frac{5\sqrt{2} +2\sqrt{73} }{2} . \)

\(C. 5\sqrt{2} +\sqrt{73}.  \)

\(D. \frac{5\sqrt{2} +\sqrt{73} }{2} .\)

Answer 1

Chọn B 

Đặt \(z=a+bi\), với \(a,b\in {\rm R}\). Khi đó ta có

\(\left|z+2-i\right|+\left|z-4-7i\right|=6\sqrt{2} \)

\(\Leftrightarrow \sqrt{(a+2)^{2} +(b-1)^{2} } +\sqrt{(a-4)^{2} +(b-7)^{2} } =6\sqrt{2} (*).\)

Giả sử xét các điểm \(N(a;b)\, ,\, A(-2;1)\, ,B(4;7)\)

\(\Rightarrow AB=6\sqrt{2}\) và phương trình đường thẳng \(AB: x-y+3=0.\)

\((*) \Leftrightarrow NA+NB=AB\Rightarrow \) N thuộc đoạn thẳng AB.

Ta có \(\left|z-1+i\right|=\sqrt{(a-1)^{2} +(b+1)^{2} } =IN\) với điểm I(1;-1) . 

Dễ có hình chiếu của I nằm trong đoạn thẳng AB

Do đó \(d(I,AB)\le IN\le Max\left\{IA;\, IB\right\} \)
\(\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {M=IN_{\max } =IB=\sqrt{73} } \\ {m=IN_{\min } =d(I,AB)=\frac{5\sqrt{2} }{2} } \end{array}\right. .  \)
\(\Rightarrow  P=\frac{5\sqrt{2} +2\sqrt{73} }{2} \)