Xét các số phức z thoả mãn |z|=1, giá trị nhỏ nhất của biểu thức |z^4 +z+1/2|^2 bằng

Question

Xét các số phức z thoả mãn  \( \left|z\right|=1\), giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(\left|z^{4} +z+\frac{1}{2} \right|^{2}\)  bằng

\(A. \frac{\sqrt{2} }{8} . \)

\(B. \frac{1}{8} . \)

\(C. \frac{1}{16}  . \)

\(D. \frac{1}{4} .\)

Answer 1

Chọn B

Đặt \(z=x+yi\).  Từ \(\left|z\right|=1\Leftrightarrow x^{2} +y^{2} =1\Leftrightarrow y^{2} =1-x^{2} .\)

Ta có
\({\left|z^{4} +z+\frac{1}{2} \right|^{2} =\left|z^{2} +\frac{1}{z} +\frac{1}{2z^{2} } \right|^{2} =\left|z^{2} +\overline{z}+\frac{1}{2} \overline{z}^{2} \right|^{2} } \)

\(=\left|\left(x^{2} -y^{2} +2xyi\right)+\left(x-yi\right)+\frac{1}{2} \left(x^{2} -y^{2} -2xyi\right)\right|^{2} \)

\(=\left|\frac{3}{2} x^{2} -\frac{3}{2} \left(1-x^{2} \right)+x+y\left(x-1\right)i\right|^{2} \)

\( =\left(3x^{2} +x-\frac{3}{2} \right)^{2} +\left(1-x^{2} \right)\left(x-1\right)^{2} \)

\(=8x^{4} +8x^{3} -8x^{2} -5x+\frac{13}{4} \)
Đặt \(f(x)=8x^{4} +8x^{3} -8x^{2} -5x+\frac{13}{4}\)  với \(x\in \left[-1;1\right]\)
\(f'(x)=32x^{3} +24x^{2} -16x-5=0\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {x=\frac{-1}{4} (t/m)} \\ {x=\frac{-1+\sqrt{11} }{4} (t/m)} \\ {x=\frac{-1-\sqrt{11} }{4} (loai)} \end{array}\right. . \)

\( f\left(-1\right)=\frac{1}{4} ;\, \, \, \, f\left(1\right)=\frac{25}{4} ;\, \, f\left(\frac{-1}{4} \right)=\frac{125}{32} ;\, \, \, f\left(\frac{-1+\sqrt{11} }{4} \right)=\frac{1}{8} .\)
Suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(\left|z^{4} +z+\frac{1}{2} \right|^{2}\)  bằng \(\frac{1}{8} \)