Xét các số phức z,w thỏa mãn |z|=2,|iw-2+5i|=1. Giá trị nhỏ nhất của |z^2-wz-4| bằng

Question

Xét các số phức z,w thỏa mãn \(\left|z\right|=2,\left|iw-2+5i\right|=1\). Giá trị nhỏ nhất của \(\left|z^{2} -wz-4\right|\) bằng

\(A.4. \)

\(B. 2\left(\sqrt{29} -3\right). \)

\(C. 8. \)

\(D. 2\left(\sqrt{29} -5\right). \)

Answer 1

Chọn  C

Ta có:\(\left|iw-2+5i\right|=1\Leftrightarrow \left|w+5+2i\right|=1;\left|z\right|=2\Rightarrow z.\overline{z}=4\)

Đặt: \(z=x+iy,w=a+ib;\left(x,y,a,b\in {\rm R}\right)\)

Khi đó: \(\left\{\begin{array}{l} {x^{2} +y^{2} =4} \\ {\left(a+5\right)^{2} +\left(b+2\right)^{2} =1} \end{array}\right. \)

Ta có:\(\left|z^{2} -wz-4\right|=\left|z\right|\left|z-w-\frac{4}{z} \right|=2\left|\left(z-\overline{z}\right)-w\right|\)

Gọi A,B lần lượt là điểm biểu diễn \(z-\overline{z}\) và w.

Dẫn đến:\(A\left(0;2y\right)\) với \(-2\le y\le 2\) ,

B thuộc đường tròn có tâm \(I\left(-5;-2\right)\)

và có bán kính R=1.

Khi đó:\(\left|z^{2} -wz-4\right|=2AB. \)

Ta có:\(AB_{\min } =d\left(I,d\right)-R=4\)

Giá trị nhỏ nhất của \(\left|z^{2} -wz-4\right|=8.\)