Question

Cho hình nón đỉnh S có đường SO=a. Gọi AB là một dây cung của đường tròn đáy của hình nón. Biết rằng tam giác SAB vuông và khoảng cách từ O đến mặt phẳng \(\left(SAB\right)\) bằng \(\frac{a\sqrt{2} }{2} \).

Tính góc ở đỉnh của hình nón đã cho.

\(A. 120^{0} . \)

\(B. 60^{0} . \)

\(C. 90^{0} . \)

\(D. 150^{0} .\)

Answer 1

Chọn A

Gọi \(H,\, \, K\) lần lượt là hình chiếu của O lên AB và SH,

ta có SO là chiều cao của hình chóp

và \(OK\bot \left(SAB\right)\Rightarrow OK=d\left(O,\left(SAB\right)\right)=\frac{a\sqrt{2} }{2} .\)

Trong tam giác vuông SOH,

ta có \(\frac{1}{OK^{2} } =\frac{1}{OS^{2} } +\frac{1}{OH^{2} } \Leftrightarrow \frac{1}{\left(\frac{a\sqrt{2} }{2} \right)^{2} } =\frac{1}{a^{2} } +\frac{1}{OH^{2} } \)
\(\Rightarrow \frac{1}{OH^{2} } =\frac{2}{a^{2} } -\frac{1}{a^{2} } =\frac{1}{a^{2} } \Rightarrow OH=a. \)
Khi đó ta được \(SH=\sqrt{SO^{2} +OH^{2} } =\sqrt{a^{2} +a^{2} } =a\sqrt{2} .\)

Ta có tam giác SAB cân tại S và do giả thiết là tam giác vuông nên nó vuông cân tại S.

Vậy có \(SH=\frac{AB}{2} \Rightarrow AB=2SH=2\sqrt{2} a.\)

Khi đó ta có độ dài đường sinh là \(l=SA=SB=2a.\)

Ta có \({\rm cos}\widehat{ASO}=\frac{SO}{SA} =\frac{a}{2a} =\frac{1}{2} \Rightarrow \widehat{ASO}=60^{0} .\)

Ta có góc ở đỉnh của nón là \(2\widehat{ASO}=2.60^{0} =120^{0} .\)

Kết luận góc ở đỉnh của hình nón đã cho bằng \(120^{0} .\)