Question

Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO, A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ O đến \(\left(SAB\right)\) bằng \(\frac{a\sqrt{3} }{3}\)  và \(\widehat{SAO}=30{}^\circ ,\widehat{SAB}=60{}^\circ\) . Diện tích toàn phần của hình nón theo a bằng

\(A. \pi a^{2} \sqrt{3} \left(1+\frac{\sqrt{3} }{2} \right). \)

\(B. a^{2} \sqrt{3} \left(1+\frac{\sqrt{3} }{2} \right). \)

\(C. \pi a\sqrt{3} \left(1+\frac{\sqrt{3} }{2} \right). \)

\(D. \pi a^{3} \sqrt{3} \left(1+\frac{\sqrt{3} }{2} \right).\)

Answer 1

Chọn A

Gọi K là trung điểm của AB

ta có \(OK\bot AB\) vì tam giác OAB cân tại O

Mà \(SO\bot AB\) nên \(AB\bot \left(SOK\right) \Rightarrow \left(SOK\right)\bot \left(SAB\right) \)

mà \(\left(SOK\right)\cap \left(SAB\right)=SK \)

nên từ O dựng \(OH\bot SK\)

thì \(OH\bot \left(SAB\right)\Rightarrow OH=d\left(O,\left(SAB\right)\right)\)

Xét tam giác SAO ta có: \(\sin \widehat{SAO}=\frac{SO}{SA} \Rightarrow SO=\frac{SA}{2} (*)\)

Xét tam giác SAB ta có: \(\sin \widehat{SAB}=\frac{SK}{SA} \Rightarrow SK=\frac{SA\sqrt{3} }{2} \)

Xét tam giác SOK ta có: \(\frac{1}{OH^{2} } =\frac{1}{OK^{2} } +\frac{1}{OS^{2} } =\frac{1}{SK^{2} -SO^{2} } +\frac{1}{SO^{2} } \)
\(\Rightarrow \frac{1}{OH^{2} } =\frac{1}{\frac{SA^{2} }{4} } +\frac{1}{\frac{3SA^{2} }{4} -\frac{SA^{2} }{4} } =\frac{4}{SA^{2} } +\frac{2}{SA^{2} }  \)\(\)

\(\Rightarrow \frac{6}{SA^{2} } =\frac{3}{a^{2} } \Rightarrow SA=2a^{2} \Rightarrow SA=a\sqrt{2}  \)
Thay vào (*) ta được: \(SO=\frac{a\sqrt{2} }{2} \)

Xét tam giác SAO ta có: \(OA=\sqrt{SA^{2} -SO^{2} } =\sqrt{2a^{2} -\frac{a^{2} }{2} } =\frac{a\sqrt{6} }{2} \)

Diện tích toàn phần của hình nón là:
\(S_{TP} =S_{xq} +S_{day} \, =\pi Rl+\pi R^{2} =\pi OA.SA+\pi \left(OA\right)^{2} \)

\(=\pi a^{2} \sqrt{3} \left(1+\frac{\sqrt{3} }{2} \right). \)