Chọn B
Gọi I là trung điểm của AB.
Ta có \(OI\bot AB\) tại \(I\Rightarrow d\left(O\_ \, ;\, AB\right)=OI=\frac{R}{2} \)
Đường sinh của hình nón \(\ell =SB=SA=\sqrt{R^{2} +h^{2} } .\)
Khi đó \(S_{1} =\pi R\ell =\pi R\sqrt{R^{2} +h^{2} } .\)
Áp dụng định lý Pytago ta được
\( SI=\sqrt{SO^{2} +OI^{2} } =\sqrt{h^{2} +\frac{R^{2} }{4} }\)
và \(IA=\sqrt{OA^{2} -OI^{2} } =\frac{R\sqrt{3} }{2} \Rightarrow AB=R\sqrt{3} .\)
Khi đó \(S_{2} =\frac{1}{2} AB.SI=\frac{1}{2} R\sqrt{3} .\sqrt{h^{2} +\frac{R^{2} }{4} } .\)
Theo đề \(\frac{S_{1} }{S_{2} } =\frac{10\pi }{3\sqrt{3} } \Leftrightarrow 3\sqrt{3} .\pi R\sqrt{R^{2} +h^{2} } \)
\(=10\pi .\frac{R\sqrt{3} }{2} .\sqrt{h^{2} +\frac{R^{2} }{4} } \Rightarrow h=\frac{R\sqrt{11} }{8} .\)