Cho hình nón đỉnh S có đường SO=a, diện tích mặt đáy bằng 3πa^2 . Gọi AB là một dây cung của...

Question

Cho hình nón đỉnh Scó đường SO=a, diện tích mặt đáy bằng \(3\pi a^{2}\) . Gọi AB là một dây cung của đường tròn đáy của hình nón. Tính theo a diện tích lớn nhất của tam giác SAB.

\(A. 2\sqrt{3} a^{2} .\)

\(B. 4a^{2} .\)

\(C. 2a^{2} . \)

\(D. \sqrt{3} a^{2} .\)

Answer 1

Chọn C

Ta có diện tích mặt đáy là \(S=\pi r^{2} =3\pi a^{2} \Rightarrow r=a\sqrt{3}\)  

là bán kính của đường tròn đáy.

Khi đó độ dài đường sinh là

\(l=SA=\sqrt{SO^{2} +OA^{2} } =\sqrt{a^{2} +3a^{2} } =2a.\)

Xét tam giác SAO, ta có

\(\tan \widehat{ASO}=\frac{OA}{OS} =\frac{a\sqrt{3} }{a} =\sqrt{3} \Rightarrow \widehat{ASO}=60^{0} .\)

Khi đó ta có góc ở đỉnh của hình nón bằng \(\widehat{ASO}=120^{0} .\)

Ta có diện tích tam giác SAB là

\(S_{\Delta SAB} =\frac{1}{2} SA.SB.\sin \widehat{ASB}=\frac{1}{2} .2a.2a.\sin \widehat{ASB}.\)

Vì góc ở đỉnh của hình nón bằng \(120^{0} >90^{0}\) ,

nên ta có \(\sin \widehat{ASB}\le 1\) và \(\sin \widehat{ASB}=1\)

khi \(\widehat{ASB}=90^{0}\)  (thỏa mãn khi \(SA\bot SB).\)

Vậy ta có \(S_{\Delta SAB} =\frac{1}{2} .2a.2a.\sin \widehat{ASB}\le 2a^{2} .\)

Kết luận diện tích lớn nhất của tam giác SAB

bằng \(2a^{2}\) , khi tam giác này vuông cân tại S.