Question

Cho khối nón đỉnh S, đường cao SO. Gọi A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ O đến \(\left(SAB\right)\) bằng \(\frac{a\sqrt{3} }{3} , \widehat{SAO}=30{}^\circ\)  và tam giác SAB là tam giác đều. Tính thể tích của khối nón theo a?

\(A. \frac{\pi a^{3} \sqrt{2} }{4} . \)

\(B. \frac{3\pi a^{3} \sqrt{2} }{4} .\)

\(C. \frac{\pi a^{3} \sqrt{2} }{12} . \)

\(D. \frac{\pi a^{3} \sqrt{3} }{4} .\)

Answer 1

Chọn A

Giả sử khối nón có chiều cao h và bán kính đáy là r.

Gọi K là trung điểm của AB ta có \(OK\bot AB\) và \(SO\bot AB\)

nên \(AB\bot \left(SOK\right) \Rightarrow \left(SOK\right)\bot \left(SAB\right)\)

mà \(\left(SOK\right)\cap \left(SAB\right)=SK\)

nên từ O dựng \(OH\bot SK\) thì \(OH\bot \left(SAB\right)\Rightarrow OH=d\left(O,\left(SAB\right)\right).\)

Xét tam giác SAO ta có: \(\sin \widehat{SAO}=\frac{SO}{SA} \Rightarrow SO=\frac{SA}{2} .\)

Xét tam giác đều SAB ta có: \(SK=\frac{SA\sqrt{3} }{2} .\)

Xét tam giác SOK vuông tại O với đường cao OH ta có:

\(\frac{1}{OH^{2} } =\frac{1}{OK^{2} } +\frac{1}{OS^{2} } =\frac{1}{SK^{2} -SO^{2} } +\frac{1}{SO^{2} } \)

\(\Rightarrow \frac{1}{OH^{2} } =\frac{1}{\frac{3SA^{2} }{4} -\frac{SA^{2} }{4} } +\frac{1}{\frac{SA^{2} }{4} } =\frac{2}{SA^{2} } +\frac{4}{SA^{2} } \)

\( \Rightarrow \frac{6}{SA^{2} } =\frac{3}{a^{2} } \Rightarrow SA^{2} =2a^{2} \Rightarrow SA=a\sqrt{2} .\)

Khi đó \(h=SO=\frac{SA}{2} =\frac{a\sqrt{2} }{2}\)  và \(r=OA=\sqrt{SA^{2} -SO^{2} } =\frac{a\sqrt{6} }{2} .\)

Vậy thể tích khối nón là: \(V=\frac{1}{3} \pi r^{2} .h=\frac{1}{3} \pi .\frac{3a^{2} }{2} .\frac{a\sqrt{2} }{2} =\frac{\pi a^{3} \sqrt{2} }{4} .\)