Cho hình nón tròn xoay đỉnh S, có chiều cao h=a và bán kính đáy r=2a. Một mặt phẳng (P) đi qua đỉnh...

Question

Cho hình nón tròn xoay đỉnh S, có chiều cao h=a và bán kính đáy r=2a. Một mặt phẳng \(\left(P\right)\) đi qua đỉnh S cắt đường tròn đáy tại hai điểm A,B sao cho \(AB=2\sqrt{3} a\). Tính khoảng cách d từ tâm của đường tròn đáy đến \(\left(P\right)\).
\(A. d=a\sqrt{2} . \)

\(B. d=\frac{a\sqrt{2} }{2}\) .

\(C. d=\frac{a\sqrt{3} }{2} . \)

\(D. d=a\sqrt{3} .\)

Answer 1

Chọn B

Gọi O là tâm đường tròn đáy của hình nón,

I là trung điểm của đoạn thẳng AB,

K là hình chiếu vuông góc của O lên SI.

Ta có \(AB\bot OI\), \(AB\bot SO\) nên \(AB\bot \left(SOI\right)\Rightarrow AB\bot OK\, .\)

Mà \(OK\bot SI\) nên \(OK\bot \left(SAB\right).\)

Suy ra \(d=d\left(O,\left(SAB\right)\right)=OK.\)

\(\Delta OAI\) vuông tại I

\(\Rightarrow OI=\sqrt{OA^{2} -AI^{2} } =\sqrt{r^{2} -\left(\frac{AB}{2} \right)^{2} } =\sqrt{4a^{2} -3a^{2} } =a\)

Suy ra \(SO=OI=a\Rightarrow \Delta SOI\) vuông cân tại \(O\Rightarrow K\) là trung điểm của cạnh SI
\(\Rightarrow OK=\frac{SI}{2} =\frac{SO\sqrt{2} }{2} =\frac{a\sqrt{2} }{2}\)  
Vậy \(d=\frac{a\sqrt{2} }{2} .\)