Cho hình nón tròn xoay (N) có đỉnh S, chiều cao bằng bán kính đáy và bằng h. Mặt phẳng (a) đi qua đỉnh S...

Question

Cho hình nón tròn xoay \(\left(N\right)\) có đỉnh S, chiều cao bằng bán kính đáy và bằng h. Mặt phẳng \(\left(\alpha \right) \) đi qua đỉnh S và tạo với trục của \( \left(N\right)\) một góc \(30{}^\circ\) . Biết diện tích thiết diện của hình nón bị cắt bởi mặt phẳng \(\left(\alpha \right)\) bằng \(6\sqrt{2}\) . Tính khoảng cách từ tâm I của đường tròn đáy đến mặt phẳng \(\left(\alpha \right)?\)

A. \frac{3}{2} .

B. 1.

C. \frac{2}{3} .

D. \frac{3}{4} .

Answer 1

Chọn A

Giả sử \left(\alpha \right) cắt đường tròn đáy tại hai điểm \(A,\, B. \) 

Khi đó thiết diện là tam giác cân SAB.

Gọi J là trung điểm của AB. Ta có:

\(\left\{\begin{array}{l} {AB\bot IJ} \\ {AB\bot SI} \end{array}\right. \Rightarrow AB\bot \left(SJI\right).\)

Khi đó ta có:\( \left\{\begin{array}{l} {\left(SAB\right)\bot \left(SIJ\right)} \\ {\left(SAB\right)\cap \left(SIJ\right)=SJ} \\ {IH\bot SJ} \end{array}\right. \)

\(\Rightarrow IH\bot \left(SAB\right)\Rightarrow d\left(I,\, \left(SAB\right)\right)=IH\)

và góc hợp bởi mặt phẳng \(\left(\alpha \right)\) với trục của \(\left(N\right)\) là

góc \(\widehat{ISH}\Rightarrow \widehat{ISH}=30{}^\circ .\)

Xét tam giác SIJ vuông tại I:

\(\cos \widehat{JSI}=\frac{SI}{SJ} \Rightarrow SJ=\frac{SI}{\cos 30{}^\circ } =\frac{h}{\frac{\sqrt{3} }{2} } =\frac{2h\sqrt{3} }{3} .\)

Mặt khác:

\(\tan \widehat{JSI}=\frac{IJ}{SI} \Rightarrow IJ=\frac{h\sqrt{3} }{3} \Rightarrow JA=\sqrt{h^{2} -\frac{3h^{2} }{9} } =\frac{h\sqrt{6} }{3}\)

\( \Rightarrow AB=\frac{2h\sqrt{6} }{3} .\)

Vì \(S_{\Delta SAB} =\frac{1}{2} SJ.AB\Leftrightarrow 6\sqrt{2} =\frac{2h^{2} \sqrt{2} }{3} \Rightarrow h=3.\)

 Khi đó \(d\left(I,\, \left(SAB\right)\right)=IH=SI.\sin 30{}^\circ =\frac{3}{2} .\)

Answer 2

đáp án A nha