Cho hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn (O;R) và (O';R). Tồn tại dây cung AB thuộc đường...

Question

Cho hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn \(\left(O;R\right)\) và \(\left(O';R\right)\). Tồn tại dây cung AB thuộc đường tròn (O) sao cho \(\Delta O'AB\) là tam giác đều và mặt phẳng (O'AB) hợp với mặt phẳng chứa đường tròn (O) một góc \(60{}^\circ\) . Khi đó, diện tích xung quanh \(S_{xq}\)  hình trụ và thể tích V của khối trụ tương ứng là: 

\(A. S_{xq} =\frac{4\pi R^{2} }{7} ;V=\frac{2\pi R^{3} \sqrt{7} }{7} . \)

\(B. S_{xq} =\frac{6\pi R^{2} \sqrt{7} }{7} ;V=\frac{3\pi R^{3} \sqrt{7} }{7} .\)

\(C. S_{xq} =\frac{3\pi R^{2} }{\sqrt{7} } ;V=\frac{2\pi R^{3} \sqrt{7} }{7} . \)

\(D. S_{xq} =\frac{3\pi R^{2} \sqrt{7} }{7} ;V=\frac{\pi R^{3} \sqrt{7} }{7} .\)

Answer 1

Chọn B

Ta có: \(OO'\bot \left(OAB\right).\) Gọi H là trung điểm của AB

thì \(OH\bot AB,{\rm \; }O'H\bot AB\Rightarrow \widehat{OHO'}=60{}^\circ .\)

Giả sử OH=x. Khi đó: 0\(OO'=x\tan 60{}^\circ =x\sqrt{3} .\)

Xét \(\Delta OAH\), ta có: \(AH^{2} =R^{2} -x^{2} .\)

Vì \(\Delta O'AB \) đều nên: \(O'A=AB=2AH=2\sqrt{R^{2} -x^{2} } {\rm \; }\left(1\right).\) 

Mặt khác,\( \Delta AOO'\) vuông tại O nên: 
\(AO'^{2} =OO'^{2} +R^{2} =3x^{2} +R^{2} {\rm \; }\left(2\right). \)
Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow 4\left(R^{2} -x^{2} \right)=3x^{2} +R^{2} \Rightarrow x^{2} =\frac{3R^{2} }{7} .\)