Question

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, \(AB=3a,\, BC=4a\). Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng \(\left(A'BC\right)\) bằng \(\frac{3a}{2}\) . Tính thể tích V của khối trụ nội tiếp khối lăng trụ ABC.A'B'C'.

\(A. V=\pi a^{3} \sqrt{3} \).

\(B. V=\frac{\pi a^{3} \sqrt{3} }{3} . \)

\(C. V=\frac{25\pi a^{3} \sqrt{3} }{4} . \)

\(D. V=\frac{3\pi a^{3} }{2} .\)

Answer 1

Chọn A

Do ABC.A'B'C' là lăng trụ đứng có đáy ABC là tam giác vuông tại B nên:
\(\left\{\begin{array}{l} {BC\bot BB'} \\ {BC\bot AB} \end{array}\right. \Rightarrow BC\bot \left(ABB'A'\right)\Rightarrow \left(ABB'A'\right)\bot \left(A'BC\right). \)
\(\left(ABB'A'\right)\cap \left(A'BC\right)=A'B\).

Trong mặt phẳng \(\left(ABB'A'\right)\) kẻ \(AH\bot A'B \) tại H. 

Suy ra \(AH\bot \left(A'BC\right)\) hay \(AH=d\left(A,\left(A'BC\right)\right)=\frac{3a}{2} .\)

Ta có:\( \frac{1}{AH^{2} } =\frac{1}{AA'^{2} } +\frac{1}{AB^{2} } \Rightarrow \frac{1}{AA'^{2} } =\frac{1}{AH^{2} } -\frac{1}{AB^{2} } =\frac{4}{9a^{2} } -\frac{1}{9a^{2} } =\frac{1}{3a^{2} } \)
\(BC=\sqrt{AB^{2} +AC^{2} } =\sqrt{9a^{2} +16a^{2} } =5a. \)

\(S_{\Delta ABC} =\frac{1}{2} AB\cdot BC=\frac{1}{2} 3a\cdot 4a=6a^{2} \)
Xét tam giác ABC có nửa chu vi \(p=\frac{AB+BC+CA}{2} =6a\)

Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC,

khi đó; \(S_{\Delta ABC} =pr\Rightarrow r=\frac{S_{\Delta ABC} }{p} =\frac{6a^{2} }{6a} =a.\)

Khối trụ nội tiếp khối lăng trụ ABC.A'B'C' có bán kính

bằng bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác ABC

và có đường cao \( h=AA'=a\sqrt{3}\)  nên thể tích V của khối trụ đó là:

\(V=\pi r^{2} h=\pi a^{2} .a\sqrt{3} =\pi a^{3} \sqrt{3}\)  (đvtt).