Chọn D
Xét tam giác ABC có \(AB=2a,\, BC=a,\, \widehat{ABC}=120{}^\circ \) nên:
\(AC^{2} =AB^{2} +BC^{2} -2AB\cdot BC\cdot \cos \widehat{ABC}\)
\(=4a^{2} +a^{2} -2\cdot 2a\cdot a\cdot \cos 120{}^\circ =7a^{2} \Rightarrow AC=a\sqrt{7} . \)
Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khi đó:
\(\frac{AC}{\sin \widehat{ABC}} =2R\Rightarrow R=\frac{AC}{2\sin \widehat{ABC}} =\frac{a\sqrt{7} }{2\cdot \sin 120{}^\circ } =\frac{a\sqrt{7} }{\sqrt{3} } . \)
A'B tạo với đáy góc \( 60{}^\circ\) suy ra \(\widehat{A'BA}=60{}^\circ .\)
Khi đó \(AA'=AB\cdot \tan \widehat{A'BA}=2a\cdot \tan 60{}^\circ =2a\sqrt{3} .\)
Hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A'B'C' có bán kính
bằng bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
và có đường sinh \(l=AA'=2a\sqrt{3}\)
nên hình trụ có diện tích xung quanh là:
\(S=2\pi Rl=2\pi \cdot \frac{a\sqrt{7} }{\sqrt{3} } \cdot 2a\sqrt{3} =4\sqrt{7} \pi a^{2} (đvdt).\)