Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C'có AB=2a, BC=a, ABC=120° và A'B tạo với đáy góc 60°...

Question

Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C'có \(AB=2a,\, BC=a,\, \widehat{ABC}=120{}^\circ\)  và A'B tạo với đáy góc \(60{}^\circ\) . Tính diện tích xung quanh của hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A'B'C'.

\(A. 2\sqrt{3} \pi a^{2} .\)

\(B. 2\sqrt{7} \pi a^{2} .\)

\(C. 4\sqrt{3} \pi a^{2} .\)

\(D. 4\sqrt{7} \pi a^{2} .\)

Answer 1

Chọn D

Xét tam giác ABC có \(AB=2a,\, BC=a,\, \widehat{ABC}=120{}^\circ \) nên:
\(AC^{2} =AB^{2} +BC^{2} -2AB\cdot BC\cdot \cos \widehat{ABC}\)

\(=4a^{2} +a^{2} -2\cdot 2a\cdot a\cdot \cos 120{}^\circ =7a^{2} \Rightarrow AC=a\sqrt{7} . \)
Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khi đó: 
\(\frac{AC}{\sin \widehat{ABC}} =2R\Rightarrow R=\frac{AC}{2\sin \widehat{ABC}} =\frac{a\sqrt{7} }{2\cdot \sin 120{}^\circ } =\frac{a\sqrt{7} }{\sqrt{3} } . \)
A'B tạo với đáy góc \( 60{}^\circ\)  suy ra \(\widehat{A'BA}=60{}^\circ .\) 

Khi đó \(AA'=AB\cdot \tan \widehat{A'BA}=2a\cdot \tan 60{}^\circ =2a\sqrt{3} .\)

Hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A'B'C' có bán kính

bằng bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

và có đường sinh \(l=AA'=2a\sqrt{3}\)  

nên hình trụ có diện tích xung quanh là: 

\(S=2\pi Rl=2\pi \cdot \frac{a\sqrt{7} }{\sqrt{3} } \cdot 2a\sqrt{3} =4\sqrt{7} \pi a^{2}  (đvdt).\)