Cho mặt cầu (S) có diện tích bằng 4π . Hình nón (N) có đỉnh thuộc (S) và đáy là đường tròn lớn của...

Question

Cho mặt cầu \(\left(S\right)\) có diện tích bằng \(4\pi\) . Hình nón \(\left(N\right)\) có đỉnh thuộc \(\left(S\right)\) và đáy là đường tròn lớn của \(\left(S\right)\). Một mặt phẳng \(\left(P\right)\) đi qua đỉnh của \(\left(N\right)\) nhưng không đi qua trục của \(\left(N\right)\) và tạo với mặt phẳng chứa đáy của \(\left(N\right)\) một góc \(60{}^\circ\) . Tính diện tích thiết diện của hình nón cắt bởi \(\left(P\right). \)

\(A. \frac{4\sqrt{2} }{3} . \)

\(B. \frac{\sqrt{2} }{3} . \)

\(C. \frac{2\sqrt{2} }{3} . \)

\(D. \frac{\sqrt{2} }{2} \)

Answer 1

Chọn C

Gọi R là bán kính của \(\left(S\right).\)

Ta có \(4\pi R^{2} =4\pi  \Leftrightarrow R=1.\)

Hình nón\( \left(N\right)\) có đáy là đường tròn lớn của \(\left(S\right)\)

nên đường tròn đáy của nó có tâm I là tâm

của \(\left(S\right)\) và bán kính bằng bán kính của \(\left(S\right).\)

Gọi A là đỉnh của \(\left(N\right).\)

Mặt phẳng \(\left(P\right)\) cắt hình nón theo thiết diện là

tam giác ABC cân tại A với BC là dây cung

của đường tròn đáy.

Ta có AI=IB=IC=R=1

Gọi H là trung điểm của BC. Ta có \(IH\bot BC.\)

Tam giác ABC cân tại A nên \(AH\bot BC.\)

Do đó góc giữa hai mặt phẳng \(\left(ABC\right)\) và \(\left(IBC\right)\)

là \(\left(IH\, ,\, AH\right)=\widehat{AHI}=60{}^\circ .\)

Tam giác AIH vuông tại I có \(IH=\frac{AI}{\tan 60{}^\circ } =\frac{1}{\sqrt{3} }  \)

và \(AH=\frac{AI}{\sin 60{}^\circ } =\frac{2}{\sqrt{3} } .\)

Tam giác IBH vuông tại H có \(BH=\sqrt{IB^{2} -IH^{2} } =\frac{\sqrt{6} }{3} .\)

Diện tích tam giác ABC là

\(S_{ABC} =\frac{1}{2} .AH.BC=\frac{1}{2} .AH.2BH=\frac{2}{\sqrt{3} } .\frac{\sqrt{6} }{3} =\frac{2\sqrt{2} }{3} .\)