Cho mặt cầu tâm O bán kính R. Xét mặt phẳng (P) thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn...

Question

Cho mặt cầu tâm O bán kính R. Xét mặt phẳng \(\left(P\right)\) thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn \(\left(C\right).\) Hình nón \(\left(N\right)\) có đỉnh S nằm trên mặt cầu, có đáy là đường tròn \(\left(C\right)\) và có chiều cao \(h{\rm \; }\left(h>R\right)\). Tính h để thể tích khối nón được tạo nên bởi \(\left(N\right)\) có giá trị lớn nhất.

\(A. h=\sqrt{3} R. \)

\(B. h=\sqrt{2} R. \)

\(C. h=\frac{4R}{3} . \)

\(D. h=\frac{3R}{2} .\)

Answer 1

Chọn C

Gọi \(H\, ,\, \, r\) lần lượt là tâm và bán kính của

đường tròn \(\left(C\right).\)

Ta có \(OH=h-R \) 

và \(r^{2} =R^{2} -OH^{2} =R^{2} -\left(h-R\right)^{2} =2Rh-h^{2} .\)

Thể tích khối nón \(V=\frac{1}{3} {\rm \pi }.r^{2} .h=\frac{{\rm \pi }}{3} h\left(2Rh-h^{2} \right).\)

Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số dương ta có:
\(h\cdot h\cdot \left(4R-2h\right)\le \left(\frac{h+h+4R-2h}{3} \right)^{3} =\left(\frac{4R}{3} \right)^{3} \Rightarrow h^{2} \left(2R-h\right)\le \frac{1}{2} \left(\frac{4R}{3} \right)^{3} . \)
Do đó V lớn nhất khi \(h=4R-2h\Leftrightarrow h=\frac{4R}{3} \).

Cách 2:

Xét hàm \(f\left(h\right)=-h^{3} +2h^{2} R\), với \(h\in \left(R;2R\right)\)

Ta có: \(f'\left(h\right)=-3h^{2} +4hR ; \)

\(f'\left(h\right)=0\Leftrightarrow -3h^{2} +4hR=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {h=0{\rm \; \; \; }(l)} \\ {h=\frac{4R}{3} } \end{array}\right.  \)

Bảng biến thiên

\(\max {\rm \; }f\left(h\right)=\frac{32}{27} R^{3} , \)tại \(h=\frac{4R}{3} .\)

Vậy thể tích khối nón có giá trị lớn nhất là

\(V=\frac{{\rm \pi }}{3} .\frac{32}{27} R^{3} =\frac{32}{81} {\rm \pi }R^{3}\)  khi \(h=\frac{4R}{3} .\)