Question

Trong không gian cho tam diện vuông O.ABC, OC=1, OA, OB thay đổi sao cho OA+OB=OC. Tìm giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O.ABC?

\(A. \frac{\sqrt{6} }{4}  \)

\(B. \sqrt{6}  \)

\(C. \frac{\sqrt{6} }{3}  \)

\(D. \frac{\sqrt{6} }{2} \)

Answer 1

Chọn A

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O.ABC là

\(R=\frac{\sqrt{OA^{2} +OB^{2} +OC^{2} } }{2} .\)

Đặt \(OA=a;\, OB=b,\, a,b>0\). Ta có \(a+b=1\Leftrightarrow b=1-a.\)

Vậy \(R=\frac{\sqrt{OA^{2} +OB^{2} +OC^{2} } }{2}  =\frac{\sqrt{a^{2} +b^{2} +1^{2} } }{2}  =\frac{\sqrt{a^{2} +\left(1-a\right)^{2} +1^{2} } }{2} \)

\(=\frac{\sqrt{2\left(\left(a-\frac{1}{2} \right)^{2} +\frac{3}{4} \right)} }{2} \ge \frac{\sqrt{6} }{4}\) .

Vậy \(R_{\min } =\frac{\sqrt{6} }{4} , \)tại \(a=b=\frac{1}{2} .\)