Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông cân tại A, AB=AC=2, AA'=2√2 .Thể tích khối cầu ngoại tiếp...

Question

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông cân tại A, \(AB=AC=2,AA'=2\sqrt{2}\) . Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình tứ diện AB'A'C là

\(A. 8\pi . \)

\(B. \frac{32\pi }{3} . \)

\(C. \frac{8\pi }{3} . \)

\(D. 32\pi .\)

Answer 1

Chọn B

Gọi I là trung điểm cạnh CB'

Ta có

Tam giác ACB' vuông tại A

(vì \(AC\bot AB\) và \(AC\bot AA'\) nên \(AC\bot AB'\))
\(\Rightarrow IA=IC=IB'=\frac{1}{2} CB' \)
Tam giác A'B'C vuông tại A

(vì \(A'B'\bot A'C'\) và \(A'B'\bot AA'\) nên \(A'C\bot A'B'\))
\(\Rightarrow IA'=IC=IB'=\frac{1}{2} CB' \)
\(\Rightarrow\) I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AB'A'C,

bán kính \(R=\frac{1}{2} CB'=\frac{1}{2} \sqrt{BB'^{2} +BC^{2} } \)

Mà \(BC=2\sqrt{2}\)  (vì tam giác ABC vuông cân tại A, AB=AC=2)

\(\Rightarrow R=2\)

Khi đó thể tích khối cầu ngoại tiếp khối tứ diện AB'A'C là \(V=\frac{32}{3} \pi .\)