Biết rằng hàm số f(x) xác định, liên tục trên R có đồ thị được cho như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực đại...

Question

Biết rằng hàm số \(f\left(x\right)\) xác định, liên tục trên \({\rm R}\) có đồ thị được cho như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực đại của hàm số \(y=f\left[f\left(x\right)\right]+2020.\)

A. 1.

B. 3.

C. 2.

D. 4.

Answer 1

Chọn C

Xét hàm số \(y=f\left[f\left(x\right)\right], y'=f'\left(x\right).f'\left[f\left(x\right)\right];\)
\(y'=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {f'\left(x\right)=0} \\ {f'\left[f\left(x\right)\right]=0} \end{array}\right. \)\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {x=0} \\ {x=2} \\ {f\left(x\right)=0} \\ {f\left(x\right)=2} \end{array}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {x=0} \\ {x=2} \\ {x=a\in \left(2;+\infty \right)} \\ {x=b\in \left(a;+\infty \right)} \end{array}\right. . \)
Với \(x\in \left(-\infty \, ;\, 0\right) \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {f'\left(x\right)>0} \\ {f\left(x\right)<0} \end{array}\right. \Rightarrow f'\left[f\left(x\right)\right]>0 \Rightarrow y'>0.\)

Với \(x\in \left(0\, ;\, 2\right) \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {f'\left(x\right)<0} \\ {f\left(x\right)<0} \end{array}\right. \Rightarrow f'\left[f\left(x\right)\right]>0\Rightarrow y'<0.\)

Với \(x\in \left(2\, ;\, a\right) \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {f'\left(x\right)>0} \\ {f\left(x\right)<0} \end{array}\right. \Rightarrow f'\left[f\left(x\right)\right]>0 \Rightarrow y'>0.\)

Với \(x\in \left(a\, ;\, b\right) \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {f'\left(x\right)>0} \\ {0<f\left(x\right)<2} \end{array}\right. \Rightarrow f'\left[f\left(x\right)\right]<0 \Rightarrow y'<0.\)

Với \(x\in \left(b\, ;\, {\rm +}\infty \right) \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {f'\left(x\right)>0} \\ {f\left(x\right)>2} \end{array}\right. \Rightarrow f'\left[f\left(x\right)\right]>0 \Rightarrow y'>0.\)

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào BBT suy ra hàm số \(y=f\left[f\left(x\right)\right]\) có hai điểm cực đại.