Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực đại của hàm số y=f(-x^2+4x)...

Question

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực đại của hàm số \(y=f\left(-x^{2} +4x\right).\)

A. 6.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

Answer 1

Chọn B

Dựa vào đồ thị đã cho, ta có:

\(f'\left(x\right)=0\Rightarrow \left[\begin{array}{l} {x=-2} \\ {x=0} \end{array}\right. .\)

và \(f'\left(x\right)>0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {x>0} \\ {x<-2} \end{array}\right. \)

Ta có: \(y'=\left(-x^{2} +4x\right)^{{'} } .f'\left(-x^{2} +4x\right)=\left(-2x+4\right).f'\left(-x^{2} +4x\right).\)
\(y'=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {-2x+4=0} \\ {f'\left(-x^{2} +4x\right)=0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {x=2} \\ {-x^{2} +4x=-2} \\ {-x^{2} +4x=0} \end{array}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {x=2} \\ {x^{2} -4x-2=0} \\ {x^{2} -4x=0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {x=2} \\ {x=2+\sqrt{6} } \\ {x=2-\sqrt{6} } \\ {x=0} \\ {x=4} \end{array}\right. . \left(*\right) \)
Ta lại có: \(f'\left(-x^{2} +4x\right)>0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {-x^{2} +4x>0} \\ {-x^{2} +4x<-2} \end{array}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {x^{2} -4x<0} \\ {x^{2} -4x-2>0} \end{array}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {0<x<4} \\ {x>2+\sqrt{6} } \\ {x<2-\sqrt{6} } \end{array}\right. .\)

Bảng xét dấu của \(y'=\left(-2x+4\right).f'\left(-x^{2} +4x\right):\)

Vậy hàm số \(y=f\left(-x^{2} +4x\right)\) có 3 điểm cực đại.