Cho hàm số y=f(x) xác định trên R. Biết rằng hàm số y=f'(x) có đồ thị như hình vẽ...

Question

Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) xác định trên \({\rm R}\). Biết rằng hàm số \(y=f'\left(x\right)\) có đồ thị như hình vẽ

Số điểm cực trị của hàm số \(g\left(x\right)=f\left(x^{2} -2x\right)-\left(\frac{x^{4} }{2} -2x^{3} +x^{2} +2x+2020\right)\) là

A. 7.

B. 6.

C. 5.

D. 8.

Answer 1

Chọn C

Ta có \(g'\left(x\right)=\left(2x-2\right)f'\left(x^{2} -2x\right)-\left(2x^{3} -6x^{2} +2x+2\right)\)

\(=2\left(x-1\right).\left[f'\left(x^{2} -2x\right)-\left(x^{2} -2x-1\right)\right]\)
\(g'\left(x\right)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {x-1=0} \\ {f'\left(x^{2} -2x\right)-\left(x^{2} -2x-1\right)=0} \end{array}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {x=1} \\ {f'\left(x^{2} -2x\right)=x^{2} -2x-1\, \, \left(*\right)} \end{array}\right. .\) 
Giải (*):

Đặt \(t=x^{2} -2x\), phương trình trở thành \(f'\left(t\right)=t-1.\)

Từ đồ thị hàm số \(y=f'\left(x\right)\) và đường thẳng \(y=x-1\) ta có
\(f'\left(t\right)=t-1\Leftrightarrow \left[\begin{array}{c} {t=-1} \\ {t=1} \\ {t=2} \\ {t=3} \end{array}\right. . \)
Suy ra
\(\left[\begin{array}{c} {x^{2} -2x=-1} \\ {x^{2} -2x=1} \\ {x^{2} -2x=2} \\ {x^{2} -2x=3} \end{array}\right.\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{c} {\left(x-1\right)^{2} =0} \\ {x^{2} -2x-1=0} \\ {x^{2} -2x-2=0} \\ {x^{2} -2x-3=0} \end{array}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{c} {x=1} \\ {x=1\pm \sqrt{2} } \\ {x=1\pm \sqrt{3} } \\ {x=-1} \\ {x=3} \end{array}\right. . \)
Bảng xét dấu

(Xét dấu của \(g'\left(x\right)\) bằng cách lấy một điểm \(x_{0}\)  

thuộc khoảng đang xét, thay vào \(g'\left(x\right)\), kết hợp với đồ thị).

Vậy hàm số \(g\left(x\right)=f\left(x^{2} -2x\right)-\left(\frac{x^{4} }{2} -2x^{3} +x^{2} +2x+2020\right)\)

có 5 điểm cực trị.