Cho hàm số bậc ba y=f(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tìm số điểm cực trị của hàm số g(x)=f(-x^2+3x)...

Question

Cho hàm số bậc ba \(y=f\left(x\right)\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tìm số điểm cực trị của hàm số \(g\left(x\right)=f\left(-x^{2} +3x\right).\)

A. 5.

B. 4.

C. 6.

D. 3.

Answer 1

Chọn A
\(g'\left(x\right)=\left(-x^{2} +3x\right)^{{'} } .f'\left(-x^{2} +3x\right)=\left(-2x+3\right)f'\left(-x^{2} +3x\right). \)
Ta có

\(g'\left(x\right)=0\Leftrightarrow \left(-2x+3\right)f'\left(-x^{2} +3x\right)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {-2x+3=0} \\ {f'\left(-x^{2} +3x\right)=0} \end{array}\right. \)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {x=\frac{3}{2} } \\ {f'\left(-x^{2} +3x\right)=0} \end{array}\right. \)

Xét phương trình \(f'\left(-x^{2} +3x\right)=0\).

Dựa vào đồ thị hàm số \(y=f\left(x\right)\), ta thấy

\( f'\left(-x^{2} +3x\right)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {-x^{2} +3x=0} \\ {-x^{2} +3x=-2} \end{array}\right. \)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {x=0} \\ {x=3} \\ {-x^{2} +3x+2=0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {x=0} \\ {x=3} \\ {x=\frac{3+\sqrt{17} }{2} } \\ {x=\frac{3-\sqrt{17} }{2} } \end{array}\right. .\)

Bảng biến thiên hàm số \(g\left(x\right)=f\left(-x^{2} +3x\right).\)

Nhìn vào bảng biến thiên, \(g'\left(x\right)=0\) có 5 nghiệm phân biệt

và g'\left(x\right) đổi dấu khi qua các nghiệm này nên hàm số

\(g\left(x\right)=f\left(-x^{2} +3x\right)\) có 5 điểm cực trị.